Là vấn đề tạm dừng có thể quyết định cho các chương trình thuần túy trên một máy tính lý tưởng?

Khá đơn giản để hiểu tại sao vấn đề tạm dừng là không thể giải quyết được đối với các chương trình không tinh khiết (nghĩa là các chương trình có I / O và / hoặc trạng thái phụ thuộc vào trạng thái toàn cầu của máy); nhưng theo trực giác, dường như việc dừng một chương trình thuần túy trên một máy tính lý tưởng sẽ có thể quyết định thông qua phân tích tĩnh.

Đây có phải là thực tế trường hợp? Nếu không, một số mẫu hoặc giấy tờ từ chối yêu cầu này là gì?

Dưới đây là một bằng chứng về sự không ổn định bằng cách giảm từ vấn đề Dừng.

Giảm: Cho máy và đầu vào x , xây dựng Máy Turing H mới không đọc bất kỳ đầu vào nào, nhưng ghi M và x trên băng và mô phỏng M trên x cho đến khi M dừng lại.$M$$x$$H$$M$$x$$M$$x$$M$

Hoạt động của máy này không phụ thuộc vào băng đầu vào, do đó, nó là Máy Turing thuần túy chỉ áp dụng phân tích tĩnh. Nếu phân tích tĩnh là đủ, thì nó có thể cho thấy liệu H dừng lại, điều này sẽ cho thấy liệu M dừng trên x hay không , điều này sẽ giải quyết vấn đề tạm dừng cho các máy không tinh khiết, mà chúng ta biết là không thể giải quyết được, và do đó vấn đề của bạn cũng không thể giải quyết được.$H$$H$$M$$x$

Không, nó không phải, và hơn nữa nó không phụ thuộc vào I / O.

Ví dụ đơn giản: viết chương trình để tìm một số lẻ hoàn hảo (đây là một vấn đề mở: chúng tôi chưa biết có tồn tại hay không) - nó không nhận bất kỳ đầu vào nào và không thực hiện bất kỳ nhiệm vụ không tinh khiết nào ; nó có thể dừng lại khi tìm thấy một hoặc có thể hoạt động vô hạn (trong trường hợp số đó không tồn tại). Bây giờ nếu phân tích tĩnh đủ mạnh để xác định trường hợp tạm dừng thì nó sẽ được sử dụng để trả lời câu hỏi này (và nhiều câu hỏi nữa) trong đó tạm dừng có nghĩa là sự tồn tại tích cực của một số đó và không dừng lại có nghĩa là không có số đó, nhưng không may là phân tích tĩnh không phải là mạnh mẽ

Bằng chứng cổ điển bằng cách chéo hóa là một cỗ máy thuần túy , không chỉ nó là một Turing Machine thuần túy, mà nó không dựa vào "Các vấn đề mở".

Ví dụ, một máy Turing thực hiện Giả thuyết Collatz không có trạng thái tạm dừng, nhưng điều đó phụ thuộc vào sự thiếu hiểu biết của chúng tôi về Giả thuyết Collatz, một ngày nào đó chúng ta có thể dự đoán rằng Collatz đã đúng và sau đó chúng ta sẽ có thể quyết định trạng thái Ngừng của phỏng đoán (Hoặc cho một số đầu vào không dừng lại, hoặc Luôn dừng lại).

Vì vậy, phỏng đoán Collatz đã có thể trả lời câu hỏi của bạn (ít nhất là tạm thời), nhưng nó phụ thuộc vào những điều chúng ta không biết . Thay vào đó, bằng chứng cổ điển là một vấn đề được giải quyết: chúng ta đã biết điều đó là không thể giải quyết được .

Chỉ để ghi lại, bằng chứng tiêu chuẩn về tính không thể giải quyết được của vấn đề tạm dừng dựa trên cùng một ý tưởng như câu hỏi: rằng có thể viết một chương trình một số thuật ngữ phụ để đánh giá mã nguồn cho toàn bộ chương trình. Sau đó, nếu có một hàm halts, được cung cấp mã nguồn cho một chương trình, đã trả về Đúng nếu chương trình đó tạm dừng trên tất cả các đầu vào và Sai thì đây sẽ là một chương trình hợp pháp:

prog() = if halts "prog" then prog() else ()

nơi "prog"sẽ có một số biểu thức được ước tính cho mã nguồn prog; tuy nhiên, bạn có thể nhanh chóng thấy rằng progtạm dừng (đối với tất cả các đầu vào) nếu nó không dừng lại, đó là một mâu thuẫn. Không có gì trong bằng chứng này phụ thuộc vào I / O theo bất kỳ cách nào (bạn có cần I / O để viết một câu hỏi không?).

Nhân tiện, bạn có thể muốn xem xét "I / O dựa trên hộp thoại" để biết thêm bằng chứng rằng I / O hoàn toàn không liên quan đến vấn đề của bạn (về cơ bản, các chương trình làm I / O có thể được giảm xuống thành các chương trình lấy đầu vào như (rõ ràng) đối số chức năng và trả về đầu ra dưới dạng (rõ ràng) kết quả bổ sung trong một ngôn ngữ lười biếng). Thật không may, tôi không thể tìm thấy một trang hợp lý, không thiên vị (hoặc hộp thoại chuyên nghiệp) trên web ngay bây giờ.