Câu hỏi liên quan đến Máy Turing với trạng thái vô dụng

OK, vì vậy đây là một câu hỏi từ một bài kiểm tra trước đây trong lớp Lý thuyết tính toán của tôi:

Trạng thái vô dụng trong TM là trạng thái không bao giờ được nhập trên bất kỳ chuỗi đầu vào nào. Đặt Chứng minh rằng là không thể giải quyết được.U S E L E S S T

$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}} = \{\langle M, q \rangle \mid q \text{ is a useless state in }M\}.$$ $\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$

Tôi nghĩ rằng tôi đã có câu trả lời, nhưng tôi không chắc liệu nó có đúng không. Sẽ bao gồm nó trong phần trả lời.

Điều này rõ ràng có thể giảm từ vấn đề dừng. Nếu một máy không dừng ở đầu vào thì bất kỳ trạng thái cuối cùng nào cũng là "vô dụng". Với một đầu vào cho vấn đề , có thể dễ dàng xây dựng tạm dừng trên mọi đầu vào (do đó trạng thái cuối cùng của nó không vô dụng) khi và chỉ khi dừng trên . Bằng cách đó, bạn có thể quyết định Ngừng vấn đề nếu bạn có thể quyết định , điều này dẫn đến mâu thuẫn.x M , x M x M x U S E L E S S T $M$$x$$M,x$$M_x$$M$$x$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$

Vì mục đích của bằng chứng này, chúng tôi sẽ giả sử rằng có thể quyết định để hiển thị mâu thuẫn.$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$

Tạo TM thực hiện như sau:$R$

• Chuyển đổi TM thành automata đẩy xuống với ngăn xếp thư giãn (nghĩa là không yêu cầu LIFO). Điều này tương đương với biểu đồ có hướng chi tiết về quá trình chuyển đổi giữa các trạng thái củaP $M$$P$$M$
• Đánh dấu trạng thái bắt đầu của .$P$
• Từ trạng thái bắt đầu, bắt đầu tìm kiếm theo chiều rộng dọc theo mỗi cạnh ra ngoài đánh dấu từng nút không được đánh dấu.
• Khi tìm kiếm kết thúc, nếu có bất kỳ nút không được đánh dấu nào khớp với , hãy chấp nhận ; nếu không thì từ chối .$q$

Sau đó tạo TM = "Trên đầu vào $$$S$

1. Tạo TM như hình trên.$R$
2. Chạy trên .$q$$R$
3. Nếu trả về chấp nhận, chấp nhận ; nếu từ chối, từ chối " $R$$R$

Do đó, nếu là người quyết định cho thì là người quyết định cho (vấn đề chấp nhận). Vì được chứng minh là không thể giải quyết được (xem Lý thuyết tính toán của Michael Sipser 4.11 trên trang 174), chúng tôi đã đạt được một mâu thuẫn. Do đó, giả thuyết ban đầu là không chính xác và là không thể giải quyết được.U S E L E S S T M S Một T M A T M U S E L E S S T $R$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$$S$$A_{\mathrm{TM}}$$A_{\mathrm{TM}}$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$