Trực giác đằng sau cổng Hadamard

10

Tôi đang cố gắng dạy bản thân về điện toán lượng tử và tôi có một sự hiểu biết đúng đắn về đại số tuyến tính.

Tôi đã đi qua cổng KHÔNG, điều đó không tệ lắm, nhưng sau đó tôi đã đến cổng Hadamard. Và tôi đã bị mắc kẹt. Chủ yếu là vì trong khi tôi "hiểu" các thao tác, tôi không hiểu họ thực sự làm gì hoặc tại sao bạn muốn làm chúng, nếu điều đó có ý nghĩa.

Ví dụ: khi cổng Hadamard mất nó sẽ cho . Điều đó có nghĩa là gì? Đối với cổng KHÔNG, nó sẽ vào và cho . Không có gì không rõ ràng về điều đó; nó đưa ra "đối diện" của bit (đối với sự chồng chất, nó cần trong và cho ) và tôi hiểu tại sao điều đó là hữu ích; vì những lý do tương tự (về cơ bản) rằng nó hữu ích trong một máy tính cổ điển. Nhưng cái gì (ví dụ) là cổng Hadamard đang thực hiện hình học cho một vectơ ? Và tại sao điều này hữu ích? $|0\rangle$ $\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$ $|0\rangle$ $|1\rangle$ $\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ $\beta|0\rangle + \alpha|1\rangle$ $\begin{bmatrix}\alpha \\ \beta \end{bmatrix}$

logic quantum-computing

— thạch
nguồn

10

Cổng Hadamard có thể là cuộc gặp gỡ đầu tiên của bạn với sự sáng tạo chồng chất . Khi bạn nói rằng bạn có thể liên hệ tính hữu dụng của cổng Pauli (hay còn gọi là đối tác cổ điển của nó - tốt, Hadamard chính xác là nơi bạn rời khỏi vương quốc của tương tự cổ điển, sau đó. Nó rất hữu ích cho chính xác lý do tương tự, tuy nhiên, cụ thể là nó thường được sử dụng để tạo thành một bộ phổ quát của cửa (như clasical với và fan-out, hoặc với quạt ra ngoài một mình). $X$ NOTANDNOTNOR

Mặc dù một cổng có phần hữu ích trực tiếp trong việc tạo số ngẫu nhiên (như Yuval Filmus đã nói), sức mạnh thực sự của nó thể hiện khi xuất hiện trong nhiều trường hợp hoặc kết hợp với các cổng khác. Ví dụ, khi bạn có qubit được khởi tạo trong và áp dụng một cho mỗi trong số chúng theo thứ tự bất kỳ, thứ bạn nhận được là có thể được mở rộng thành Voilà, giờ đây chúng ta có thể đánh giá các chức năng trên $H$ $n$ $|0\rangle$ $H$

(| 0 ⟩ + | 1 ⟩) \otimes (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) \otimes \dots \otimes (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) / 2^{n / 2}

$(|0\rangle + |1\rangle) \otimes (|0\rangle + |1\rangle) \otimes \ldots \otimes (|0\rangle + |1\rangle) / 2^{n/2}$

1 / 2^{n / 2} \cdot (| 00 \dots 00 ⟩ + | 00 \dots 01 ⟩ + | 00 \dots 11 ⟩ + \dots + | 11 \dots 11 ⟩)

$1/2^{n/2} \cdot (|00\ldots00\rangle + |00\ldots01\rangle + |00\ldots11\rangle + \ldots + |11\ldots11\rangle)$

2^{n}

$2^n$ đầu vào khác nhau song song! Đây là, ví dụ, bước đầu tiên trong thuật toán của Grover .

Một cách sử dụng phổ biến khác là Hadamard trên một qubit, sau đó là một CNOTđiều khiển với qubit mà bạn vừa đặt vào vị trí chồng chất. Xem: Đó là trạng thái Bell là nền tảng của các giao thức phân phối khóa lượng tử khác nhau , tính toán dựa trên đo lường , dịch chuyển lượng tử và nhiều ứng dụng khác . Bạn cũng có thể sử dụng nhiều lần trên các qubit mục tiêu được khởi tạo bằng 0 (có cùng điều khiển) để tạo được gọi là GHZ tiểu bang

C N O T (2^{- 1 / 2} (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) \otimes | 0 ⟩) = 2^{- 1 / 2} C N O T (| 00 ⟩ + | 10 ⟩) = 2^{- 1 / 2} (| 00 ⟩ + | 11 ⟩)

$CNOT \big(2^{-1/2}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes|0\rangle \big) = 2^{-1/2} CNOT(|00\rangle + |10\rangle) = 2^{-1/2} (|00\rangle + |11\rangle)$ CNOT

2^{- 1 / 2} (| 00 \dots 00 ⟩ + | 11 \dots 11 ⟩)

$2^{-1/2} (|00\ldots00\rangle + |11\ldots11\rangle)$ , cũng vô cùng hữu ích.

Cuối cùng nhưng không kém phần quan trọng, đó là một biến đổi cơ bản khá hữu ích có thể tự đảo ngược. Vì vậy, một cổng Hadamard khác hoàn tác, theo một nghĩa nào đó, những gì một ứng dụng trước đó đã làm ( ). Bạn có thể thử nghiệm xung quanh những gì sẽ xảy ra nếu bạn sử dụng nó để "kẹp" các hoạt động khác, ví dụ như đặt một mục tiêu vào qubit mục tiêu của một cổng và một hoạt động khác sau nó. Hoặc trên cả hai qubit (với tổng số 4 Hadamards). Hãy tự mình thử và chắc chắn bạn sẽ học được rất nhiều về tính toán lượng tử! $H^2 = I$ CNOT

Re "cổng Hadamard đang làm hình học cho vectơ là gì": đọc trên quả cầu Bloch , bạn sẽ nghe về nó ở khắp mọi nơi. Trong đại diện này, một cổng Hadamard thực hiện xoay 180 ° về một trục nghiêng nhất định. Cổng Pauli ( NOTlà một trong ba) cũng quay 180 ° nhưng chỉ khoảng hoặc hoặc . Bởi vì các hoạt động hình học như vậy khá hạn chế, chỉ riêng những cổng này không thể làm được gì nhiều. (Thật vậy, nếu bạn giới hạn bản thân mình cho những người và một $x$ $y$ $z$ CNOTtrong máy tính lượng tử của bạn, bạn chỉ cần chế tạo một thiết bị cổ điển rất đắt tiền và không hiệu quả.) Xoay về một thứ gì đó nghiêng là rất quan trọng, và một thành phần nữa bạn thường cần cũng xoay theo một phần nhỏ hơn của góc, như 45 ° (như trong Pha cổng ca ).

— Vee
nguồn

9

Cổng Hadamard hoạt động trên một qubit duy nhất. Trạng thái của một qubit có thể được mô tả là , trong đó . Nếu bạn đo qubit, đầu ra là với xác suất và với xác suất . Từ góc độ đại số tuyến tính, trạng thái của một qubit chỉ là một vectơ chỉ tiêu đơn vị có độ dài hai trên các số phức. Hai vectơ trải rộng một không gian vectơ có hai chiều (trên các số phức) và mọi vectơ chỉ tiêu đơn vị trong không gian vectơ đó có thể là trạng thái của một qubit . $\alpha \left|0\right\rangle + \beta \left|1\right\rangle$ $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ $0$ $|\alpha|^2$ $1$ $|\beta|^2$ $\left|0\right\rangle,\left|1\right\rangle$

Vì trạng thái luôn có định mức đơn vị, nên các toán tử tuyến tính duy nhất có thể có trên qubit là những toán tử bảo toàn định mức. Từ đại số tuyến tính, chúng ta biết rằng đây chính xác là các toán tử Hermiti. Để mô tả một toán tử, nó đủ để mô tả hiệu ứng của nó trên cơ sở. Ví dụ: giá trị của toán tử của bạn trên vectơ là . $\left| 0 \right\rangle$ $\frac{\left| 0 \right\rangle + \left| 1 \right\rangle}{\sqrt{2}}$

Theo Wikipedia , cổng Hadamard được sử dụng để tạo thành một "đầu vào ngẫu nhiên". Nếu được áp dụng cho một qubit không đổi (nghĩa là , hoặc một vòng quay của chúng theo số phức đơn vị định mức đơn vị), cổng Hadamard tạo thành một qubit "ngẫu nhiên thống nhất" , mà khi đo lường hành xử giống như một đồng xu tung. Đây là loại hành vi chúng ta muốn khi "thử mọi khả năng song song". $\left| 0 \right\rangle$ $\left| 1 \right\rangle$

Tôi đề nghị bạn tiếp tục đọc về tính toán lượng tử; khi bạn nhận được các thuật toán lượng tử (như Grover's và Shor), bạn sẽ hiểu tất cả các cổng lượng tử này hữu ích cho việc gì.

— Yuval Filmus
nguồn

3

"Vectơ định mức đơn vị có độ dài hai" gây khó hiểu cho tôi vì tôi đã quen sử dụng định mức và độ dài thay thế cho nhau.

— adrianN