Bạn có thể thao tác và rút ra kết luận về các chức năng được mô tả không có triệu chứng?

Câu hỏi này là bài tập về nhà (mặc dù không sử dụng vấn đề thực tế)!

Giả sử bạn có một chức năng được mô tả là:

Bạn có thể tiếp tục điều trị như sau:

và thực hiện toán học trên nó và giữ ý nghĩa tiệm cận của nó?

Trong trường hợp trên tôi có thể phỏng đoán rằng ngụ ý (giả sử hệ số có vấn đề trong ví dụ này)?$f(n) \in O(2n^2)$$f(n) / 2 \in O(n^2)$

Đối với một số thao tác, chẳng hạn như cộng, nhân, bạn có thể thao tác trực tiếp trên ký hiệu tiệm cận. Ví dụ: nếu và , thì và . Đối với một số hoạt động khác, chẳng hạn như phân chia, nó phụ thuộc sau đó. Ví dụ: với và , việc nói là không đúng (xem xét và ). Tuy nhiên, nếu là hằng số cố định, thì$\small g(n) = \mathcal{O}(n^2)$$\small f(n) = \mathcal{O}(n^2)$$\small g(n) + f(n) = \mathcal{O}(n^2)$$\small g(n) \cdot f(n) = \mathcal{O}(n^4)$$\small g(n) = \mathcal{O}(n^2)$$\small f(n) = \mathcal{O}(n^2)$$\small \frac{g(n)}{f(n)} = \mathcal{O}(1)$$\small g(n) = n^2$$\small f(n) = n$$c$$\small \frac{g(n)}{c} = \mathcal{O}(n^2)$ .

Để đáp các thắc mắc như phỏng đoán của bạn, sử dụng định nghĩa của . Diễn giải từ wikipedia tại thời điểm viết:$O$

$f \in O(g)$ iff với mọi , đối với một số hằng số và .$f(x) \leq M\times g(x)$$x > x_0$$M$$x_0$

Vì vậy, nếu , thì cho một số hằng số và (tôi gọi nó là thay vì để tránh nhầm lẫn sau). Bạn sẽ nhận thấy chúng ta có thể kết hợp thành một hằng số, cho bạn biết .$f(n) \in O(2n^2)$$f(n) \leq C \times 2n^2 \ \ \forall n > n_0$$C$$n_0$$C$$M$$2C$$O(2n^2) = O(n^2)$

Chúng ta có thể nói gì về ? Bây giờ chúng ta có thể sử dụng đại số bình thường cho bất đẳng thức, chẳng hạn như chia cả hai bên cho 2 để có được:$f(n)/2$

$f(n)/2 \leq Cn^2 \ \ \forall n > n_0$

Đây có còn là không? Để kiểm tra điều này, chúng ta cần tìm các hằng số và sao cho định nghĩa trên được giữ. Trong trường hợp này, và hoạt động. Lưu ý rằng cũng hợp lệ; bạn có thể sử dụng bất kỳ phương pháp nào bạn muốn để tìm các hằng số này, miễn là bạn biết chúng là hằng số.$O(n^2)$$M$$x_0$$M = C$$x_0 = n_0$$M = 327.6C$

Trong thế giới thực, bạn sẽ có thể "tắt" hầu hết điều này khi thực hiện phân tích của mình, như NP-hard thực hiện trong câu trả lời của anh ấy, nhưng đó chỉ là những phím tắt để viết nó ra một cách nghiêm ngặt như thế này (đó là những gì tôi mong đợi bài tập về nhà cụ thể về ). Nếu bạn không chắc chắn liệu nó có hợp lệ hay không, hãy loại bỏ các bằng cách sử dụng định nghĩa, thực hiện đại số về bất đẳng thức, sau đó đưa nó trở lại bằng cách tìm các hằng số thích hợp (hoặc đơn giản chỉ ra rằng chúng tồn tại).$O$$O$$O$