Dual tam giác độc đáo của đa giác đơn giản

Cho một tam giác (không có điểm Steiner) của đa giác đơn giản , người ta có thể xem xét tính kép của tam giác này, được định nghĩa như sau. Chúng ta tạo một đỉnh cho mọi tam giác trong tam giác của chúng ta và chúng ta kết nối hai đỉnh nếu các tam giác tương ứng có chung một cạnh. Biểu đồ kép được biết đến là một cây có độ ba tối đa.$P$

Đối với ứng dụng của tôi, tôi quan tâm đến sau đây. Cho một cây với mức độ tối đa ba, là luôn có một đa giác đơn giản như vậy mà kép của mỗi tam giác (không có điểm Steiner) của là tương đương với . Ở đây, tam giác của có thể không phải là duy nhất, nhưng tôi yêu cầu đồ thị kép là duy nhất.P P T $T$$P$$P$$T$$P$

Điều này chắc chắn đúng khi là một đường dẫn, nhưng trở nên không rõ ràng khi bạn có các đỉnh bậc ba.$T$

Cho một cây có bậc ba cực đại, luôn có một đa giác đơn giản sao cho số kép của mọi tam giác (không có điểm Steiner) của bằng ?P P $T$$P$$P$$T$

Đúng. Để hiển thị điều này, tôi sẽ đưa ra một quy trình để có được kết quả dường như mạnh hơn một chút *:

Cho một cây có bậc ba tối đa, xây dựng một đa giác đơn giản , sao cho tam giác duy nhất của (không có điểm Steiner) có là đối ngẫu của nó.P P $T$$P$$P$$T$

Bắt đầu bằng cách tạo ra một tam giác ban đầu , đại diện một số đỉnh trong và thêm vào hàng đợi . Sau đó, lặp lại như sau cho đến khi trống:v 0 T v 0 Q $\Delta_0$$v_0$$T$$v_0$$Q$$Q$

• Pop phần tử hàng đầu, , từ hàng đợi.$v$
• Đối với mỗi đỉnh láng giềng đó mà chúng tôi đã không được đặt một tam giác nào, chọn một khía cạnh của tam giác và một điểm bên trong vùng hình nón được tạo ra bởi dòng qua và đoạn láng giềng của nó, chẳng hạn rằng tam giác không cắt nhau bất kỳ hình tam giác nào khác. (Xem hình bên dưới) Set và thêm để .Một B Δ v D Một B Δ A B D Δ w ← Δ A B D w $w$$AB$$\Delta_v$$D$$AB$$\Delta ABD$$\Delta_w\leftarrow\Delta ABD$$w$$Q$

Hình ảnh này đưa ra một ví dụ về đa giác có thể có (trái) cho (phải)$P$$T$

Để xem tại sao quy trình này hoạt động, trước tiên hãy lưu ý rằng sau khi tạo một tam giác mới, các đoạn và tạo ra một hình nón có một vùng không trống không giao nhau với các tam giác hiện có (xem thêm hình trước đó), vì vậy chúng ta có thể tìm thấy một điểm phù hợp ở mỗi bước và tạo một đa giác.$AB$$AD$

Thứ hai, chúng tôi đã lựa chọn các hình tam giác như vậy mà đoạn thẳng giữa không hoàn toàn nằm bên trong . Nếu tồn tại một điểm góc của các tam giác đã được đặt sao cho hoàn toàn nằm trong , thì nó phải nằm bên trong các hình nón do và tạo ra . Tuy nhiên, do phần hình nón này không nằm trong được chứa trong hình nón được tạo bởi hình tam giác được đặt trước đó, nênP Q ∉ { B , D } D Q P A D B D Δ A B D $CD$$P$$Q \notin \{B,D\}$$DQ$$P$$AD$$BD$$\Delta ABD$$Q$chỉ tồn tại nếu tồn tại một điểm tương tự cho tam giác được đặt trước đó. Vì không tồn tại một điểm như vậy cho tam giác đầu tiên, điều này có nghĩa là không có điểm nào như vậy cho bất kỳ tam giác nào chúng ta thêm vào.

Điều này có nghĩa là tất cả các cặp của bất kỳ điểm góc nào của mà đoạn được chứa đầy đủ trong đã có trong tam giác được xây dựng, do đó, tam giác là duy nhất cho (tất cả các tam giác đều có cùng số lượng phân đoạn bên trong )P X Y P $(X,Y)$$P$$XY$$P$$P$

Lưu ý rằng các đa giác được xây dựng trong phương pháp này có xu hướng có các góc khá sắc nét. Tôi nghi ngờ các đồ thị lớn tùy ý yêu cầu đa giác với các góc nhỏ tùy ý, có thể là một vấn đề khi vẽ các đa giác này với độ chính xác hữu hạn.

_{*: Sự khác biệt là, nếu chúng ta giải thích 'duy nhất' theo sự đồng hình hóa (phù hợp với tính duy nhất của tam giác và đối ngẫu là khác nhau), chúng ta sẽ ổn với một đa giác có nhiều tam giác mà tất cả đều có hai mặt đẳng hình. Tuy nhiên, có thể 'đính kèm' nhiều hình tam giác hơn vào các đa giác đó để đảm bảo một số đối tượng không còn là đẳng cấu.}