Cảm ứng cảm ứng là gì?

Cảm ứng cảm ứng là gì?

Các tài nguyên tôi tìm thấy là:

• sách HoTT , ở cuối chương 5.7.
• bài viết của nLab
• một bài báo gọi là định nghĩa quy nạp
• bài đăng trên blog này cũng đề cập đến các loại quy nạp

Hai tài liệu tham khảo đầu tiên quá ngắn gọn đối với tôi và hai tài liệu tham khảo sau quá kỹ thuật. Bất cứ ai có thể giải thích nó trong nhiệm kỳ của giáo dân? Sẽ tốt hơn nếu có mã Agda.

Bổ sung 2016-10-03: Tôi đã trộn lẫn giữa quy nạp cảm ứng và đệ quy cảm ứng (không phải lần đầu tiên tôi làm điều đó!). Tôi xin lỗi vì sự lộn xộn. Tôi cập nhật câu trả lời để bao gồm cả hai.

Tôi tìm thấy những lời giải thích trong bài báo của Forsberg & Setzer Một tiên đề hữu hạn của các định nghĩa quy nạp quy nạp chiếu sáng.

Cảm ứng-đệ quy

Một định nghĩa đệ quy quy nạp là một định nghĩa trong đó chúng ta định nghĩa một loại $A$ và một loại $B : A \to \mathsf{Type}$ đồng thời theo một cách đặc biệt:

1. $A$ được định nghĩa là một loại quy nạp.
2. $B$ được xác định bởi đệ quy trên$A$ .
3. Điều quan trọng, định nghĩa của $A$ có thể sử dụng $B$ .

Nếu không có yêu cầu thứ ba, lần đầu tiên chúng ta có thể xác định $A$ và sau đó riêng $B$ .

Dưới đây là một ví dụ bé. Xác định $A$ theo quy nạp để có các hàm tạo sau:

• $a : A$
• $\ell : \big(\sum_{x : A} B(x)\big) \to A$

Họ $B$ được định nghĩa bởi

• $B(a) = \mathtt{bool}$
• $B(\ell(x, f)) = \mathtt{nat}$ .

$A$

Cảm ứng

$A$$B : A \to \mathsf{Type}$

1. $A$
2. $B$$A$
3. $A$$B$

$B$

$A$

• $a : A$
• $\ell : \big(\sum_{x : A} B(x)\big) \to A$

$B$

• $\mathsf{Tru} : B(a)$
• $\mathsf{Fal} : B(a)$
• $x : A$$y : B(x)$$\mathsf{Zer} : B(\ell(x,y))$
• $x : A$$y : B(x)$$z : B(\ell(x,y))$$\mathsf{Suc}(z) : B(\ell(x,y))$

$B$$B(a)$$B(\ell(x,y))$