Giảm lưu lượng tối đa để phù hợp với bipartite?

Có một sự giảm thiểu nổi tiếng và thanh lịch từ vấn đề khớp lưỡng cực tối đa sang vấn đề luồng cực đại: chúng ta tạo một mạng với một nút nguồn , một nút đầu cuối và một nút cho mỗi mục được khớp, sau đó thêm các cạnh thích hợp.$s$$t$

Chắc chắn có một cách để giảm lưu lượng tối đa đến kết hợp lưỡng cực tối đa trong thời gian đa thức, vì cả hai đều có thể được giải quyết riêng lẻ trong thời gian đa thức. Tuy nhiên, có giảm thời gian đa thức "tốt đẹp" từ dòng chảy tối đa (trong đồ thị chung) sang kết hợp lưỡng cực tối đa không?

Thật kỳ lạ, không có giảm như vậy được biết đến. Tuy nhiên, trong một bài báo gần đây, Madry (FOCS 2013), đã chỉ ra cách giảm lưu lượng tối đa trong các đồ thị công suất đơn vị xuống (logarit nhiều trường hợp) tối đa khớp trong các đồ thị lưỡng cực.$b$

Trong trường hợp bạn không quen thuộc với bài toán khớp tối đa , đây là một khái quát của phép so khớp, được định nghĩa như sau: đầu vào là một biểu đồ (trong trường hợp của chúng tôi, biểu đồ lưỡng cực), và a tập hợp các nhu cầu tích phân cho mỗi đỉnh, với nhu cầu của đỉnh được ký hiệu là . Mục tiêu là tìm ra một tập hợp các cạnh lớn nhất có thể sao cho không có đỉnh có nhiều hơn các cạnh trong sự cố trên . Đây là một bài tập đơn giản để khái quát việc giảm từ kết hợp lưỡng cực đến lưu lượng tối đa và hiển thị mức giảm tương tự từ bipartiteG = ( V , E ) v b v S v b v S v b | bạn | 1 m b O ( m $b$$G=(V,E)$$v$$b_v$$S$$v$$b_v$$S$$v$$b$-chuyển sang dòng chảy tối đa. (Một trong) kết quả đáng ngạc nhiên của bài báo của Madry là ở một khía cạnh nào đó, những vấn đề này là tương đương, giúp giảm đơn giản làm giảm lưu lượng tối đa trong các biểu đồ công suất đơn vị (nói chung, biểu đồ có tổng công suất, là tuyến tính theo số cạnh, ) cho bài toán khớp trong đồ thị với các nút , đỉnh và tổng nhu cầu.$|u|_1$$m$$b$$O(m)$

Nếu bạn quan tâm đến chi tiết, xem phần 3, cho đến Định lý 3.1 và phần 4 (và bằng chứng chính xác trong Phụ lục C) của phiên bản ArXiv của bài báo Madry, tại đây . Nếu thuật ngữ không rõ ràng, hãy xem phần 2.5 để biết tóm tắt về vấn đề khớp , và hãy nhớ rằng là công suất của cạnh trong trường hợp lưu lượng tối đa ban đầu.u đ$b$$u_e$$e$

Vì vậy, đây là một thử để trả lời câu hỏi của bạn:

Định lý của Konig về sự trùng khớp lưỡng cực đã chứng minh và do đó giảm đi bằng cách sử dụng định lý Max-Flow Min-Cut. Định lý của Konig nêu sau đây. Nếu G là đồ thị lưỡng cực thì max {| M | : M là khớp} = min {| C | : C là bìa}. Bằng chứng. Phần max {| M |} {| C |} là tầm thường. Đặt P và Q là các lớp bipartition của G. Chúng ta thêm hai đỉnh, r và s vào G và cung rp cho mọi và qs cho mọi q ∈ Q và pq cạnh trực tiếp từ p ∈ P đến q ∈ Q . Đây là một bản vẽ G ∗ . Chúng tôi xác định khả năng u (rp) = 1, u (pq) = $p\in P$$q \in Q$$p\in P$$q\in Q$$G_{∗}$$\infty$, U (qs) = 1. Hãy x là một khả thi không thể thiếu dòng x, sau đó x (e) = 0 hoặc 1, vì vậy chúng ta có thể xác định M = { : x (e) = 1}. M là khớp với | M | = f x . Tiếp theo, một M tương ứng trong G làm phát sinh một khả thi không thể thiếu dòng x trong G * với giá trị dòng chảy f x = | M | như sau. Xác định x (pq) = 1 nếu p q ∈ M , x (rp) = 1 nếu p là sự việc cho một cạnh trong M, x (qs) = 1 nếu q là sự việc cho một cạnh trong M, trong mọi trường hợp x khác (e) = 0. Vì vậy, một kích thước phù hợp với M tối đa trong tương ứng với G để một dòng chảy tối đa trong G $e \in E$$f_{x}$$G_{∗}$$f_{x}$$pq \in M$$G_{∗}$, có kích thước bằng với mức cắt tối thiểu theo định lý Max-Flow Min-Cut. Xét một r - s cắt tối thiểu δ (R). Nó có khả năng hữu hạn, vì vậy nó không chứa pq hồ quang. Khi đó mọi cạnh của G là sự cố với một phần tử C = (P \ R) , nghĩa là, C là một trang bìa. Hơn nữa, u (C) = | P \ R | + | Q ∩ R | và vì vậy C là bìa có kích thước | M |.$\cup (Q \cap R)$$|Q \cap R|$

Ý tôi là đây là tất cả mọi thứ theo ý kiến ​​của tôi mà bạn đã hỏi trong câu hỏi và đây là câu trả lời tiềm năng của tôi :).