Chứng minh ngôn ngữ bao gồm tất cả các chuỗi trong một số ngôn ngữ có cùng độ dài với một số chuỗi trong ngôn ngữ khác là thông thường

8

Vì vậy, tôi đã gãi đầu về vấn đề này trong một vài ngày nay. Cho một số ngôn ngữ $A$ và là chính quy, cho thấy rằng ngôn ngữ bao gồm tất cả các chuỗi trong có độ dài bằng một số chuỗi trong là ngôn ngữ thông thường. $B$ $L$ $A$ $B$

Ở dạng phương trình:

L = {x \in A ∣ \exists y \in B s.t. | x | = | y |}

$L = \{x \in A \mid \exists y \in B \text{ s.t. } |x| = |y| \}$

Suy nghĩ ban đầu của tôi là thử và đưa ra một số DFA cho cả hai ngôn ngữ và và ánh xạ hai trạng thái với nhau và hy vọng có được tỷ lệ 1: 1 theo cách mà tôi có thể tạo DFA mới chứng minh rằng là chính quy. Nhưng sau đó tôi nhận ra rằng và không cần phải có cùng một bộ biểu tượng. $A$ $B$ $L$ $A$ $B$

Tôi nghĩ rằng cách chính xác để giải quyết vấn đề này là sử dụng các thuộc tính đóng của ngôn ngữ thông thường, nhưng tôi không chắc chắn về cách bắt đầu / sử dụng các thuộc tính cho "độ dài" của chuỗi thay vì chính chuỗi.

ai đó có thể chỉ cho tôi đi đúng hướng?

— Hân hoan
nguồn

4

Ghi nhớ (hoặc đưa ra) bằng chứng cho

. $\qquad \displaystyle L_1, L_2 \in \mathsf{REG} \implies L_1 \cap L_2 \in \mathsf{REG}$

Bạn có thấy cách sửa đổi bằng chứng cho cài đặt của mình không?

Tóm tắt sự bình đẳng của điều dài, đưa ra một cấu trúc cho một máy tự động cho

cho trước, tùy ý trên. $\qquad \displaystyle L_l = \{ w \in \Sigma^* \mid \exists x \in L.\, |x|=|w|\}$

$L \in \mathsf{REG}$ $\Sigma$

Bạn có thấy kết nối không?

Bây giờ lưu ý rằng . $L = A \cap B_l$

— Raphael
nguồn

3

Gợi ý: Hãy giả sử bạn biết tất cả các độ dài khác nhau từ trong , . Hiện tại, hãy cho rằng nó là hữu hạn. $B$ $len(B) = \{ \ell_1, \ell_2, \ell_3, ... \}$

Bạn có thể sử dụng kiến thức này để xây dựng DFA cho không? ^{(gợi ý: giao lộ hoặc xây dựng "sản phẩm chéo")} $A$

Bảng chữ cái của thậm chí có vấn đề? $B$

Tiếp theo, nó có thể là tập hợp độ dài là vô hạn. Sau đó nhìn vào câu hỏi này cũng sẽ giải quyết vấn đề đó. $len(B)$

— Ran G.
nguồn

2

Cách đóng thuộc tính, vì vậy không có automata (rõ ràng). Ngôn ngữ thông thường được đóng lại dưới hình thái, hình thái nghịch đảo và giao điểm (với ngôn ngữ thông thường).

Hãy và là bảng chữ cái của và . Hãy là cấu xạ mà các bản đồ mỗi lá thư để . Sau đó mã bộ chiều dài của , và $\Sigma_A$ $\Sigma_B$ $A$ $B$ $h_X:\Sigma_X^* \to \{1\}^*$ $a\in\Sigma_X$ $1$ $h_B(B) \subseteq \{1\}^*$ $B$ Bao gồm (tất cả các chuỗi) có chiều dài tương tự như các chuỗi trong , nhưng qua bảng chữ cái của . Cuối cùng, chúng tôi nhận thấy rằng . $h_A^{-1}(h_B(B))$ $B$ $A$ $L= A\cap h_A^{-1}(h_B(B))$

Bây giờ cho tiền thưởng . Nó cũng hoạt động cho và ngữ cảnh . Tuy nhiên, chúng ta cần một thuộc tính bổ sung: nếu có ngữ cảnh thì là thông thường (!) Vì tất cả các ngôn ngữ không ngữ cảnh 'unary' (= bảng chữ cái đơn) là đều đặn, là hệ quả của định lý Parikh . Do đó, là thường xuyên và có ngữ cảnh. $A$ $B$ $B$ $h_B(B)$ $h_A^{-1}(h_B(B))$ $L$

— Hendrik Jan
nguồn