nếu (λ x. xx) có một loại, thì hệ thống loại không nhất quán?

Nếu một hệ thống loại có thể gán một loại cho λ x . x x, hoặc không kết thúc (λx . x x) (λ x . x x), thì hệ thống đó có không nhất quán như một hệ quả không? Là tất cả các loại theo hệ thống đó có người ở? Bạn có thể chứng minh sai?

Chắc chắn, gán một loại cho là không đủ cho sự mâu thuẫn: trong hệ thống F , chúng ta có thể lấy được λ x . x x : ( ∀ X . X ) → ( ∀ X . X $\lambda x. x\ x$$F$

một cách khá đơn giản (đây là một bài tập tốt!). Tuy nhiên, có thể không được đánh máy tốt trong hệ thống này, giả sử ω -consistency số học trật tự thứ 2, vì điều này ngụ ý rằng tất cả các điều khoản tốt, đánh máy như vậy là bình thường.$(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$ $\omega$

Hơn nữa, hệ thống là phù hợp. Này xuất phát từ một trong hai bình thường, như người ta có thể chứng minh rằng bất kỳ điều khoản loại ∀ X . X không thể có một hình thức bình thường, hoặc một lập luận đơn giản hơn nhiều, trong đó mỗi loại được gán một bộ, hoặc là ∅ hoặc { ∅ } và nó có thể được chỉ ra rằng tất cả các loại derivable được giao { ∅ } , và ∀ X . X được gán ∅ (và do đó không phải là derivable).$F$$\forall X.X$$\varnothing$$\{\varnothing\}$$\{\varnothing\}$$\forall X.X$$\varnothing$

Đối số sau có thể được thực hiện trong số học bậc nhất. Thực tế là có thể được gõ tốt trong một hệ thống nhất quán có thể được coi là hơi đáng lo ngại, và là hậu quả của sự thiếu sót của hệ thống . Không có gì đáng ngạc nhiên khi một số người đặt câu hỏi về sự đáng tin cậy của các hệ thống logic thiếu sót. Tuy nhiên, cho đến nay không có sự mâu thuẫn nào được tìm thấy trong các hệ thống như vậy.$\lambda x.x\ x$

$(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$

Thông tin chi tiết có thể được tìm thấy trong câu trả lời của tôi cho một câu hỏi liên quan: /cstheory//a/31321/3984