Thủ thuật được sử dụng trong bằng chứng về sự phức tạp theo cấp số nhân của các loại mỹ phẩm Presburger

Tôi đã đăng bài này lên MathUnderflow nhưng không có câu trả lời, vì vậy tôi nghĩ tôi sẽ thử nó ở đây,

Tôi đang đọc bài báo cũ của Rabin và Fischer [sẽ đăng một liên kết khi có thể] trong số những điều khác, sự phức tạp theo cấp số nhân của các loại mỹ phẩm Presburger được chứng minh.

Bằng chứng dựa trên sự tồn tại của công thức khẳng định không chính thức " " với . Mặc dù việc xây dựng công thức này không được đưa ra trong bài báo, nhưng điều đó làm tôi ngạc nhiên khi xem xét rằng nó có lẽ không cần thiết lắm, vì điều đó bị ràng buộc và thực tế là chúng tôi chỉ có sự bổ sung theo ý của chúng tôi! $I_{n}(x)$ $x < 2^{2^{kx+1}}$ $|I_{n}| \in O(n)$

Sau này tôi mới biết rằng việc xây dựng công thức này dựa trên một "mánh khóe", được phát hiện trước đó bởi Fischer và độc lập bởi Volker Strassen, nhưng tôi đã không tìm ra được một bài báo mô tả chi tiết về mánh khóe này!

Vì vậy, nếu có ai biết về bài báo mà tôi đang nói và có thể chỉ cho tôi hướng đi hoặc thậm chí mô tả mánh khóe cho tôi ...

Bài đăng này từ blog của Lipton chứa một liên kết đến bài báo cũng như đề cập đến [và cung cấp một bản thô, không may cho tôi, bản phác thảo] mẹo nói, BTW.

Tôi biết rằng đây là một mô tả mơ hồ. Mặc dù, một mô tả đủ chi tiết sẽ quá dài cho một bài viết SX, vì vậy tôi chỉ hy vọng rằng ai đó đã biết về bài báo đang đề cập - và do đó có thể thực hiện với bản phác thảo ngắn gọn đó - va vào điều này và có thể giúp tôi .

complexity-theory reference-request logic

— ướt
nguồn

Mối quan hệ giữa và gì? Hay nó phải là ?

n

$n$

k

$k$

2^{2^{n x + 1}}

$2^{2^{nx+1}}$

— Shaull

Bạn có thể tải xuống giấy Fisher & Rabin tại đây .

— Martin Berger

Việc xây dựng được đưa ra trong bài báo: Định lý 8 ở trang 14-15 (tuyên bố thực tế là Hệ quả 9 ở trang 16).

— Yuval Filmus

Nhận xét của Martin (và theo dõi của Yuval) đưa ra tài liệu tham khảo giải thích việc xây dựng một cách chi tiết.

Tôi sẽ giải thích một chút vì tôi nghĩ đó là một bằng chứng tuyệt đẹp: về cơ bản nó đang thực hiện bằng chứng "thông thường" về tính không ổn định của PA (số học với phép cộng và phép nhân), nhưng tương đối hóa thành $2^{2^{c\cdot n}}$ ! Đó là, có một công thức (ngắn) biểu thị phép nhân lên đến số đó, tức là một công thức sao cho $M_n(x,y,z)$

M_{n} (x, y, z) \Leftrightarrow x \times y = z \land x < 2^{2^{n}}

$M_n(x,y,z) \Leftrightarrow x\times y=z\ \wedge x< 2^{2^n}$

Bây giờ bạn xây dựng bằng cách cảm ứng trên , với một mẹo rất quan trọng gợi nhớ đến thuật toán Karatsuba để nhân số nhị phân hoặc một số thủ thuật nhất định để nhân ma trận: $M_n$ $n$

Trong định nghĩa cho bạn kết thúc bằng một kết hợp của mẫu $M_{n+1}(x,y,z)$

M_{n} (x_{1}, y_{1}, z_{1}) \land M_{n} (x_{2}, y_{2}, z_{2}) \land M_{n} (x_{3}, y_{3}, z_{3})

$M_{n}(x_1,y_1,z_1)\wedge M_{n}(x_2,y_2,z_2)\wedge M_{n}(x_3,y_3,z_3)$

Nhưng bạn có thể thay thế điều này bằng

\forall u v w, (u = x_{1} \land v = y_{1} \land w = z_{1}) \lor (u = x_{2} \land v = y_{2} \land w = z_{2}) \lor (u = x_{3} \land v = y_{3} \land w = z_{3}) \Rightarrow M_{n} (u, v, w)

$\forall u v w,(u=x_1\wedge v=y_1\wedge w=z_1)\vee(u=x_2\wedge v=y_2\wedge w=z_2)\vee(u=x_3\wedge v=y_3\wedge w=z_3)\Rightarrow M_n(u,v,w)$

Thủ thuật này cho phép tăng kích thước tuyến tính thay vì theo cấp số nhân (như một hàm của ). $n$

Có một vài mánh khác liên quan, nhưng đây là mánh chính. Tất nhiên, phần bên trong của đệ quy rất quan trọng, nhưng sự tương đồng với thủ thuật Karatsuba thực sự khá nổi bật.

— cody
nguồn

Một số người có thể nhận ra thủ thuật định lượng từ bằng chứng .

P S P A C E = N P S P A C E

$PSPACE=NPSPACE$

— Ariel