Cho 2 bộ n điểm: tối thiểu hóa tổng khoảng cách đã đi

Tôi được tặng hai bộ $S, T$ mỗi $n$ điểm trong $\mathbb{R}^k$ , Tôi muốn tìm một đồ trang sức $a : S \rightarrow T$ , như vậy mà

\underset{S \in S}{Σ} d (S, một (S))

$\sum_{s \in S} d(s, a(s))$ được giảm thiểu, với

d

$d$ là khoảng cách Euclide.

Tôi biết rằng vấn đề vận chuyển này là một trường hợp đặc biệt của vấn đề khoảng cách động đất, nhưng vì nó không có trọng số (và hơn điểm) Tôi tự hỏi liệu có một thuật toán nào hiệu quả hơn phương pháp khối thời gian đối với nó không?

— người dùng695652
nguồn

Dành cho

d = 1

$d=1$ có một thuật toán tham lam dễ dàng với

O (n \log n)

$O(n \log n)$ thời gian chạy Có lẽ nó đáng để suy nghĩ về

d = 2

$d=2$ như trường hợp thú vị đơn giản nhất (không tầm thường).

— DW

Tôi nghi ngờ điều đó. Tôi đã đọc một bài báo từ năm 2014 cần giải quyết chính xác điều này như một bài toán con và họ đã sử dụng

O (n^{3})

$O(n^3)$ Thuật toán Hungary.

— j_random_hacker

Như một trường hợp rất đặc biệt: Nếu

d = 2

$d=2$ bạn có thể xây dựng thân tàu lồi trên tập hợp tất cả

2 n

$2n$ điểm trong

O (n \log n)

$O(n\log n)$ thời gian và sau đó tính tổng khoảng cách cho mỗi trong số 2 đường đi xen kẽ có thể của các cạnh xung quanh thân tàu. Nếu nó xảy ra rằng nhỏ hơn trong số này là một giải pháp hợp lệ, nó phải là tối ưu. (Rõ ràng đây là một yêu cầu thậm chí còn mạnh mẽ hơn tất cả các điểm phải nằm trên thân lồi, vốn đã là một điều kiện rất mạnh ...)

— j_random_hacker

Bạn có thể muốn thay đổi nó thành

R^{k}

$\mathbb{R}^k$ hoặc một cái gì đó kể từ khi bạn đang sử dụng

d

$d$ cho số liệu

— MCT

Như đã đề cập trong báo cáo vấn đề, đây là Bài toán chuyển nhượng (khớp lưỡng cực trọng lượng tối thiểu) trong đó người ta biết rằng các trọng số là khoảng cách Euclide.

Đã có một số cải tiến kể từ Thuật toán Hungary, ít nhất là về giới hạn tiệm cận. Tùy thuộc vào kích thước chính xác của biểu đồ, bất kỳ thuật toán nào cũng có thể là tốt nhất. Một bảng trong bài báo của Cohen, et al cung cấp chi tiết. Thuật toán của Edmonds và Karp là $O(nm + n^2 log n)$ và vẫn là giới hạn tốt nhất không phụ thuộc vào trọng lượng tối đa trong biểu đồ. Thuật toán của Cohen dường như là tốt nhất cho các biểu đồ thưa thớt, đó không phải là tình huống của bạn. Tôi nghĩ rằng thứ tốt nhất cho đồ thị dày đặc của bạn sẽ là của Sankowski $\tilde{O} (W n^\omega)$ , vì nó không phụ thuộc vào $m$ .

Tôi không biết có cách nào để khai thác cấu trúc trọng lượng cụ thể của vấn đề này (khoảng cách Euclide) để cải thiện thêm không.

Nguồn:

Đường dẫn ngắn nhất có trọng lượng âm và công suất đơn vị Lưu lượng chi phí tối thiểu trong $\tilde{O}(m^{(10/7)} log W)$ Thời gian. Michael B. Cohen, Aleksander Madry, Piotr Sankowski, Adrian Vladu
https://arxiv.org/abs/1605.01717v3 (bản in sẵn)

J. Edmonds và RM Karp. Những cải tiến lý thuyết về hiệu quả thuật toán cho các vấn đề về lưu lượng mạng. J. ACM, 19 (2): 248 Công264, 1972.

Piotr Sankowski. Automata, Ngôn ngữ và lập trình: Hội thảo quốc tế lần thứ 33, ICALP 2006, Venice, Ý, ngày 10 đến 14 tháng 7 năm 2006, Kỷ yếu, Phần I, chương Kết hợp lưỡng cực có trọng số trong thời gian nhân ma trận, trang 274 phản285. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg, 2006.
http://link.springer.com/ch CHƯƠNG / 10.1007% 2F11786986_25

— tjhighley
nguồn