Giảm vấn đề sau xuống SAT

Đây là vấn đề. Với , trong đó mỗi . Có tập hợp con với kích thước tối đa sao cho cho tất cả ? Tôi đang cố gắng giảm vấn đề này xuống SAT. Ý tưởng của tôi về một giải pháp sẽ là có một biến cho mỗi từ 1 đến . Đối với mỗi , hãy tạo một mệnh đề nếu$k, n, T_1, \ldots, T_m$S ⊆ { 1 , ... , n $T_i \subseteq \{1, \ldots, n\}$$S \subseteq \{1, \ldots, n\}$$k$$S \cap T_i \neq \emptyset$$i$$x_i$$n$$T_i$$(x_{i_1} \vee \cdots \vee x_{i_k})$$T_i = \{i_1, \ldots, i_k\}$. Sau đó và tất cả các mệnh đề với nhau. Nhưng đây rõ ràng không phải là một giải pháp hoàn chỉnh vì nó không đại diện cho ràng buộc mà phải có tối đa phần tử. Tôi biết rằng tôi phải tạo nhiều biến hơn, nhưng đơn giản là tôi không biết làm thế nào. Vì vậy, tôi có hai câu hỏi:$S$$k$

1. Là ý tưởng của tôi về giải pháp đi đúng hướng?
2. Các biến mới nên được tạo như thế nào để chúng có thể được sử dụng để thể hiện ràng buộc cardinality ?$k$

Có vẻ như bạn đang cố gắng tính toán một siêu đồ thị có kích thước . Đó là, { T 1 , Mạnh , T m } là siêu dữ liệu của bạn và S là chuyển vị của bạn. Một bản dịch tiêu chuẩn là diễn đạt các mệnh đề như bạn có, và sau đó dịch giới hạn độ dài thành một ràng buộc về số lượng.$k$$\{T_1,\dots,T_m\}$$S$

Vì vậy, sử dụng mã hóa hiện tại của bạn, ví dụ, và sau đó thêm mệnh đề mã hóa Σ 1 ≤ i ≤ n x i ≤ k .$\bigwedge_{1 \le j \le m} \bigvee_{i \in T_j} x_i$$\sum_{1 \le i \le n} x_i \le k$

là một cardinality hạn chế. Có nhiều bản dịch ràng buộc cardinality khác nhau vào SAT.$\sum_{1 \le i \le n} x_i \le k$

Cách đơn giản nhất nhưng khá lớn dịch cardinality hạn chế là chỉ . Bằng cách này mỗi phân ly đại diện cho chế ¬ ⋀ i ∈ X x i - cho tất cả các tập con X của { 1 , ... , n $\bigwedge_{X \subseteq \{1,\dots,n\}, |X| = k+1} \bigvee_{i \in X} \neg x_i$$\neg \bigwedge_{i \in X} x_i$$X$$\{1,\dots,n\}$có kích thước k + 1. Đó là, chúng tôi đảm bảo rằng không có cách nào có thể đặt nhiều hơn k biến. Lưu ý rằng đây không phải là kích thước đa thức tính bằng $k$

Một số liên kết đến các bài báo về các bản dịch ràng buộc cardinality hiệu quả hơn về không gian có kích thước đa thức tính bằng $k$ :

• Dịch các ràng buộc Pseudo-Boolean sang SAT - Niklas Eén và Niklas Sörensson, JSAT vol 2 (2006), pg 1-26 (một khảo sát tốt).
• Mã hóa CNF hiệu quả về các hạn chế về số lượng thẻ Boolean - Olivier Bailleux và Yacine Boufkhad, Kỷ yếu nguyên tắc và thực hành lập trình ràng buộc 2003, LNCS vol 2833, pg 108-122 (một bản dịch khá hay, dễ thực hiện).
• Hướng tới mã hóa CNF tối ưu cho các ràng buộc về thẻ Boolean - Carsten Sinz - Thủ tục tố tụng và thực hành lập trình ràng buộc 2005, LNCS 3709, trg 827-831.
• Hướng tới các mã hóa mạnh mẽ của CNF về các ràng buộc về tim mạch - Joao Marques-Silva và Inês Lynce, Kỷ yếu nguyên tắc và thực hành lập trình ràng buộc 2007, LNCS 4741, trg 483-497.

Nếu bạn thực sự quan tâm đến việc giải quyết các vấn đề như vậy, có lẽ tốt hơn là xây dựng chúng thành các vấn đề giả-boolean (xem bài viết wiki về các vấn đề giả-boolean ) và sử dụng các bộ giải giả giả (xem cạnh tranh giả-boolean ). Bằng cách đó, các ràng buộc về cardinality chỉ là các ràng buộc giả-boolean và là một phần của ngôn ngữ - hy vọng người giải giả giả sau đó xử lý chúng trực tiếp và do đó hiệu quả hơn.

Nếu bạn không hoàn toàn đặt vào SAT bình thường, ý tưởng của bạn đã giảm xuống MIN-ONES (trên các công thức CNF tích cực), về cơ bản là SAT, nhưng ở đó bạn có thể đặt tối đa biến thành đúng (hoàn toàn là tối ưu hóa phiên bản mà chúng tôi giảm thiểu về số lượng biến thực).$k$

Tương tự như vậy nếu bạn đi theo hướng Độ phức tạp tham số, thì về cơ bản bạn đã có WSAT ( ), trong đó Γ + 2 , 1 là lớp của tất cả các công thức CNF tích cực (giống như trước đây, ký hiệu có thể giúp bạn điều tra mặc dù). Trong trường hợp này, bạn phải bắt đầu xem tham số nào sẽ hữu ích trong trường hợp của bạn.$\Gamma_{2,1}^{+}$$\Gamma_{2,1}^{+}$

Tôi cho rằng bạn đang tìm kiếm một sự giảm rõ ràng, nhưng nếu không, bạn luôn có thể quay lại Định lý Cook-Levin .