Santa có thể vừa công bằng vừa hiệu quả?

Khi Vật lý của Santa thường xanh thành lập, Santa không thể có được một món quà cho mọi đứa trẻ trên hành tinh. Lập kế hoạch tuyến đường sẽ không giúp được gì nhiều ở đó, nhưng liệu một thuật toán lập kế hoạch tốt ít nhất có thể đảm bảo rằng mọi đứa trẻ đều nhận được một món quà một lần trong khi ông già Noel cũng phục vụ càng nhiều trẻ em càng tốt mỗi năm?

Xem xét một đồ thị hoàn chỉnh với trọng số thực, trọng số dương và hằng số $k$ . Chúng tôi muốn giải quyết một biến thể của vấn đề Nhân viên bán hàng du lịch:

Có một tuyến đường tròn có độ dài tối đa phục vụ nhiều hơn nút không? $k$ $m$

Phiên bản tối ưu hóa sẽ là:

Tối đa hóa số lượng nút có thể được phục vụ với một tuyến đường dài có độ dài tối đa . $k$

Điều này được thúc đẩy bởi những hạn chế trong thế giới thực trên các tuyến đường: Ông già Noel có một đêm để giao càng nhiều quà càng tốt, một nhân viên bán hàng có tám giờ cho tuyến đường trong một ngày, v.v.

Câu hỏi đầu tiên, nhưng không phải là cuối cùng là: vấn đề này khó đến mức nào? Giả sử chúng ta có thể bắt đầu tại bất kỳ nút nào, nhưng điều đó sẽ không tạo ra quá nhiều sự khác biệt.

Bây giờ, để mô hình hóa sự công bằng, hãy giả sử có nút và chúng ta có thể truy cập tối đa với mỗi chuyến tham quan. Lý tưởng nhất, chúng tôi muốn rằng mỗi nút được truy cập lần trên tour du lịch hiệu quả. Vì có thể có các nút thắt cổ chai phải được truy cập thường xuyên hơn để đảm bảo các tuyến truy cập vào nhiều nút, một số chắc chắn sẽ phải được truy cập ít thường xuyên hơn. Điều đó cũng loại trừ xấp xỉ tầm thường của việc loại bỏ các nút đã truy cập một lần cho đến khi tất cả đã được truy cập. $N$ $M$ $t\cdot\frac{M}{N}$ $t$

Vì vậy, đây là câu hỏi cuối cùng. Gọi là số lượng tour cần thiết cho đến khi tất cả các nút được truy cập bởi -tours hiệu quả . Làm thế nào chúng ta có thể xác định một cách thuật toán giá trị tối thiểu của (và tất cả các tuyến cần thiết)? Vấn đề này phức tạp đến mức nào? $T$ $k$ $T$

Tôi đoán đây thực sự là một vấn đề đa tiêu chí: mỗi chuyến tham quan nên truy cập càng nhiều nút càng tốt trong khi chúng tôi muốn giữ các chuyến tham quan càng rời rạc càng tốt.

complexity-theory graphs scheduling

— Raphael
nguồn

Ông già Noel thực sự sử dụng phép thuật tốt để giải quyết các vấn đề hoàn thành NP trong thời gian

. Nếu bạn có một ví dụ khó khăn về 3DM mà bạn cần phải giải quyết vào cuối năm nay, hãy thử viết thư cho anh ấy ở cực bắc, và nếu bạn là một nhà nghiên cứu nhỏ, anh ấy có thể mang đến cho bạn câu trả lời vào Giáng sinh.

O (1)

$O(1)$

— Đánh dấu Dominus

Tôi hơi bối rối. Nếu là hằng số, thì bạn có thể thử tất cả các chuyến tham quan có thể có . Do đó vấn đề là ở . $k$ $O(n^k)$ ${\sf P}$

$k$ ${\sf NP}$ $\text{HAM-CIRCUIT}$

$n$ $G$ $K_n$

w_{i j} := {\begin{cases} 1 & if (v_{i}, v_{j}) is an edge in G \\ 2 & otherwise \end{cases} .

$w_{ij}:=\begin{cases} 1 & \text{if $(v_i,v_j)$ is an edge in $G$} \\ 2 & \text{otherwise} \end{cases}.$

k = n

$k=n$

m = n - 1

$m=n-1$

$G$ $K_n$ $n$ $\le n$ $> (n-1)$ $>(n-1)$ $\le n$ $n$ $G$

— A.Schulz
nguồn

Điều này đúng với việc tìm một chuyến tham quan có nhiều nút, nhưng không phải là mục tiêu cạnh tranh bổ sung để truy cập tất cả các nút có vài chuyến tham quan có làm phức tạp mọi thứ không?

— Raphael