kết quả

Chúng tôi biết

Các sụp đổ không tầm thường khác và hậu quả là gì?

$\newcommand{\co}{\mathsf{co}\text{-}}$ $\newcommand{\class}[1]{\mathsf{#1}}$

Nếu $\class{PP}=\class{RP}$ sau đó bạn có một sự sụp đổ đến cấp độ đầu tiên, cụ thể là $\class{PH}=\class{NP}$.

Giả định $\class{PP}=\class{RP}$, từ $\class{PP}$ được đóng dưới sự bổ sung, chúng tôi có $\mathsf{RP}=\co{\class{RP}}=\class{ZPP}$, do đó $\class{PP}=\class{ZPP}$.

Sử dụng định lý của Toda:

$\class{PH}\subseteq\class{P^{\class{PP}}}=\class{P}^{\class{ZPP}}=\class{ZPP}\subseteq{\class{NP}}$.

Bạn thực sự có được một cái gì đó mạnh mẽ hơn, nếu $\class{PP}=\class{RP}$, sau đó hệ thống phân cấp sụp đổ để $\class{ZPP}$.

Trong thực tế, bạn có thể chỉ ra rằng hệ thống phân cấp đếm sụp đổ$\class{ZPP}$, sử dụng các đối số đơn giản hơn định lý của Toda và đạt được $\class{PH}\subseteq\class{CH}\subseteq\class{ZPP}$.

Một lập luận hấp dẫn sẽ được nói rằng kể từ khi $\class{PP}=\class{ZPP}$và $\class{ZPP}$ là thấp cho chính nó, tức là $\class{ZPP}^{\class{ZPP}}=\class{ZPP}$ sau đó $\class{PP}^{\class{PP}}=\class{ZPP}^{\class{ZPP}}=\class{ZPP}$ và $\class{CH}$ sụp đổ để $\class{ZPP}$. Điều này rõ ràng là sai, vì$\class{A}=\class{B}$ Ở đâu $\class{A},\class{B}$ là tập hợp các ngôn ngữ "có thể quyết định" theo các loại máy Turing cụ thể (các loại $\class{A}$ và $\class{B}$), Không ngụ ý $\class{A}^{\mathcal{O}}=\class{B}^{\mathcal{O}}$ cho bất kỳ lời sấm $\mathcal{O}$. Xem câu trả lời này để được giải thích thêm.

Những gì bạn thực sự cần phải hiển thị, để có được $\class{CH}\subseteq{ZPP}$ (tất nhiên, theo giả định ban đầu của $\class{PP}=\class{RP})$, có phải $\class{ZPP}$ là thấp cho $\class{PP}$, I E $\class{PP}^{\class{ZPP}}=\class{PP}$. Nếu cái này giữ thì$\class{PP}^{\class{PP}}=\class{PP}^{\class{ZPP}}=\class{PP}=\class{ZPP}$, và như vậy $\class{CH}\subseteq\class{ZPP}$. May mắn thay, điều này không quá khó (và thậm chí có thể được tăng cường để$\class{BPP}$ là thấp cho $\class{PP}$).

Để cho $L$ là một ngôn ngữ trong $\class{PP}^{\class{ZPP}}$, sau đó tồn tại một máy Turing thời gian đa thức xác suất có quyền truy cập vào một $\class{ZPP}$ nhà tiên tri $\mathcal{O}$, gọi nó đi $M_{\mathcal{O}}$, như vậy mà:

$x\in L\Rightarrow \Pr\left[M_{\mathcal{O}} \text{ accepts x}\right]>\frac{1}{2}$và

$x\notin L\Rightarrow \Pr\left[M_{\mathcal{O}} \text{ accepts x}\right]\le\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n^c}}$.

Ở đâu $n^c$ là thời gian hoạt động của $M_{\mathcal{O}}$ (trong định nghĩa chuẩn, bất đẳng thức thứ hai xuất hiện với $\le\frac{1}{2}$, tuy nhiên nó có thể được cải thiện thành $<\frac{1}{2}$ và do đó để ở trên).

Giả sử rằng máy Turing quyết định $\mathcal{O}$ có thời gian chạy dự kiến $n^d$. Bây giờ, chúng ta hãy nhìn vào máy$M$, thay thế cho mỗi lời kêu gọi của $M_{\mathcal{O}}$ bởi một $t$ các bước mô phỏng của $\class{ZPP}$ máy cho $\mathcal{O}$và lặp lại mô phỏng này $k$lần Nếu chúng tôi gặp một cuộc gọi tiên tri, quá trình này không dẫn đến câu trả lời (không ai trong số$k$ $t$mô phỏng bước dừng lại), sau đó $M$ bác bỏ.

Để cho $H$ biểu thị sự kiện rằng tất cả các mô phỏng đã tạm dừng trong thời gian đã cho, sau đó:

$\Pr\left[\text{M accepts x}\right]=\Pr\left[\text{M accepts x} | H\right]\Pr[H]+\Pr\left[\text{M accepts x}\Big| \overline{H}\right]\Pr\left[\overline{H}\right]=\Pr\left[\text{M accepts x} | H\right]\Pr[H]=\Pr\left[M_{\mathcal{O}} \text{ accepts x}\right]\Pr[H]$.

Như vậy, chúng ta có:

$x\in L\Rightarrow \Pr\left[\text{M accepts x}\right]>\frac{1}{2}\Pr[H]$và

$x\notin L\Rightarrow \Pr\left[\text{M accepts x}\right]\le\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n^c}}\right)\Pr[H]\le \frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n^c}}$.

Theo bất bình đẳng của Markov, một mô phỏng duy nhất không dừng lại với xác suất $\le \frac{n^d}{t}$, vì thế $k$ $t$mô phỏng bước không đưa ra câu trả lời với xác suất $\le \left(\frac{n^{d}}{t}\right)^k$. Bằng sự ràng buộc của công đoàn, chúng ta có$\Pr[H]\ge 1-n^c\left(\frac{n^{d}}{t}\right)^k\ge 1-\frac{1}{2^{n^c}}$, cho $t=2n^d$ và $k=2n^c$. Trong trường hợp này$M$ đạt được sự tách biệt sau đây:

$x\in L\Rightarrow \Pr\left[\text{M accepts x}\right]>\frac{1}{2}\left(1-2^{-n^c}\right)$và

$x\notin L\Rightarrow \Pr\left[\text{M accepts x}\right]\le \frac{1}{2}-2^{-n^c}<\frac{1}{2}-\frac{1}{2}2^{-n^c}$

Điều đó chứng tỏ $L\in \class{PP}$, vì chúng ta có thể thay thế hằng số $\frac{1}{2}$ với bất kỳ chức năng $f(x)\in \class{FP}$. Xem câu hỏi này để biết bằng chứng về lý do tại sao chúng ta có thể thay thế$\frac{1}{2}$ với bất kỳ hằng số hợp lý nào, và thuyết phục bản thân rằng nó khái quát ngay lập tức cho bất kỳ $f\in \class{FP}$.