Tài liệu về một cách tiếp cận ngây thơ đối với sự đẳng cấu đồ thị bằng cách kiểm tra các đa thức của ma trận kề.

Tôi mô tả một cách tiếp cận đối với sự đẳng cấu đồ thị có thể có dương tính giả và tôi tò mò liệu có tài liệu nào chỉ ra rằng nó không hoạt động.

Cho hai ma trận kề , $G, H$ , một phương pháp kiểm tra đẳng cấu được thừa nhận là kiểm tra xem mỗi hàng của , có một hàng của là hoán vị của hàng , ký hiệu là . Câu hỏi hơi nghiêm ngặt hơn, đó là "sự đồng hình cục bộ" mà cho tất cả các hàng. Tạo ra một đẳng cấu cục bộ có thể được thực hiện trong thời gian đa thức bằng cách xây dựng ma trận với ; rồi vàG v G u G [ u ] ∼ H [ v ] π G [ u ] ∼ H [ π ( u ) ] n × n A A [ u , v ] = ( G [ u ] ∼ H [ v ] ) G H $u$$G$$v$$G$$u$$G[u] \sim H[v]$$\pi$$G[u] \sim H[\pi(u)]$$n\times n$$A$$A[u,v] = (G[u]\sim H[v])$$G$$H$là đẳng cấu cục bộ iff có nắp chu kỳ, và mỗi vỏ chu kỳ là một đẳng cấu cục bộ.$A$

Rõ ràng, tất cả các biểu đồ thông thường đánh lừa phương pháp này, vì vậy, một cách tiếp cận ít ngây thơ hơn là tính toán các lũy thừa của ma trận và kiểm tra chúng cho sự đẳng cấu cục bộ, khai thác thực tế rằng bạn có nhiều ma trận bằng cách đặt khi bạn tìm thấy bất kỳ công suất nào sao cho và chỉ kiểm tra nắp chu kỳ. Một cách tiếp cận thậm chí ít ngây thơ hơn là tìm một tập hợp đa thức, thực sự là một tập hợp các mạch số học và đặt khi chúng ta tìm thấy bất kỳ đa thức p nào với p (G) [u] \ not \ sim p ( H) [v] .A [ u , v ] = $G^2, H^2, G^3, H^3,\ldots$$A[u,v] = 0$Một [ u , v ] = $G^k[u]\not\sim H^k[v]$$A[u,v]=0$p ( G ) [ u ] ≁ p ( H ) [ v $p$$p(G)[u]\not\sim p(H)[v]$

Điều này đối với tôi giống như một cách tiếp cận vô cùng ngây thơ đối với sự đẳng cấu đồ thị, vì vậy tôi chắc chắn rằng ai đó đã nghiên cứu nó và chứng minh một định lý như

Thm Đối với vô số $n$ có các ma trận không biến dạng $n\times n$ ma trận $G, H$ và hoán vị $\pi$ sao cho mọi đa thức $p$ , $p(G)$ và $p(H)$ là đẳng cấu cục bộ bởi hoán vị đó: $p(G)\overset{\pi}{\sim}p(H)$ .

Câu hỏi: Có một định lý như vậy? Tôi đã xem trong tài liệu và không thể tìm thấy nó.

Nếu có một ràng buộc về độ là đa thức trong sao cho cứ hai ma trận không biến dạng, thì đẳng cấu cục bộ được bác bỏ bằng cách tính hoặc nếu có một nhóm đa thức dễ tính toán , mỗi loại có độ dài giới hạn đa thức nhưng có thể có cấp số mũ, thì chúng ta có thuật toán P cho biểu đồ đẳng cấu. Nếu các đa thức như vậy (hoặc các mạch số học) dễ đoán, thì chúng ta có một thuật toán coRP . Nếu luôn tồn tại một (họ) các mạch số học để chứng kiến ​​sự đẳng cấu không cục bộ, thì điều này đưa ra thuật toán coNP .n G 1 , H 1 , ... , G p o l y ( n ) , H p o l y ( n ) p 1 , ... , p $k$$n$$G^1, H^1, \ldots, G^{poly(n)}, H^{poly(n)}$$p_1, \ldots ,p_k$

Lưu ý rằng chúng ta có thể tránh được vấn đề là các mục của ma trận công suất cao phát triển quá lớn bằng cách tính các đa thức trên các trường nhỏ, ví dụ bằng cách tính chúng theo các số nguyên tố modulo nhỏ. Trong thuật toán coNP , người hoạt động có thể cung cấp các số nguyên tố này.

Vâng, có một định lý như vậy, nhiều hay ít. Về cơ bản, nó nói rằng các thủ tục Weisfeiler-Lehman k chiều (nghĩa là chiếm ưu thế) tất cả các phương pháp tiếp cận kết hợp đã biết để kiểm tra đẳng cấu đồ thị. (Đề xuất cụ thể của bạn nên được thực hiện theo thủ tục Weisfeiler-Lehman 2 chiều, nếu tôi không nhầm.) Đối với mỗi k cố định, có một lớp đối chiếu với thủ tục Weisfeiler-Lehman k-k được gọi là Cai-Fürer -Immmerman xây dựng.

Lần đầu tiên tôi học những điều cơ bản về thủ tục Weisfeiler-Lehman và việc xây dựng Cai-Fürer-Immmerman từ

http://users.cecs.anu.edu.au/~pascal/docs/thesis_pascal_schweitzer.pdf

Có nhiều điều để tìm hiểu về thủ tục Weisfeiler-Lehman hơn được mô tả ở đó, nhưng ít nhất việc xử lý việc xây dựng Cai-Fürer-Immmerman là hoàn chỉnh và đủ cho mục đích của bạn. " Thủ tục Weisfeiler-Lehman " của Vikraman Arvind là một bài luận ngắn gần đây có ý nghĩa như một lời mời đến chủ đề này.

Có lẽ điểm quan trọng cần rút ra khỏi câu trả lời của tôi là nếu bạn tìm thấy một phương pháp kiểm tra đẳng cấu tổ hợp thuần túy (giống như mô tả trong câu hỏi của bạn), không bị lún (tức là bị chi phối) bởi thủ tục Weisfeiler-Lehman k-chiều, sau đó, đây sẽ là một bước đột phá, độc lập với việc liệu phương pháp này có thực sự hữu ích hay không.