Lý thuyết miền và đa hình

Lý thuyết miền đưa ra một lý thuyết tuyệt vời về khả năng tính toán với sự hiện diện của các loại đơn giản. Nhưng khi đa hình tham số được thêm vào, dường như không có một lý thuyết hay nào giải thích những gì đang diễn ra khá độc đáo như lý thuyết miền giải thích tính toán trên các loại đơn giản. Chắc chắn tôi sẽ không mong đợi một thứ như vậy tồn tại cho System-F bởi vì không có mô hình lý thuyết nào về System-F tồn tại. Điều gì về một hạn chế của System-F có tính dự đoán và có hệ thống phân cấp vũ trụ? Điều này đã được nghiên cứu? Có một lý thuyết miền tốt đẹp áp dụng cho nó? Đi xa hơn những gì về các loại phụ thuộc? Có thể thuyết miền bằng cách nào đó được trộn với yếu $\omega$ -groupoids để thực hiện một cái gì đó?

computability type-theory dependent-types

— Jake
nguồn

Tôi đang bối rối: có những mô hình miền lý thuyết của untyped

λ

$\lambda$ -calculus, mà bằng trực giác là một giải tích đánh máy với một loại

α ≃ α \to α

$\alpha\simeq\alpha\rightarrow\alpha$ . Điều này, tất nhiên, không có mô hình trong bộ. Tại sao bạn mong đợi không có mô hình miền của hệ thống F? Bạn đã thử tìm kiếm trực tuyến?

— cody

Tôi hiểu rằng không có mô hình nào của hệ thống F trong đó các hàm được hiểu là bất kỳ loại hàm nào trong lý thuyết tập hợp. Tôi hiểu rằng không có mô hình lý thuyết tập hợp "ngây thơ" nào của phép tính lambda đã gõ nhưng mô hình lý thuyết tập hợp đó tồn tại miễn là các hàm là các hàm liên tục. Sau đó, rất giống các hàm thực liên tục có cùng số lượng với các hàm thực, vì vậy các hàm liên tục scott cũng có thể có cùng kích thước với miền (đồng) của chúng. Tôi hiểu điều này là cách giải quyết vấn đề kích thước. Tôi hiểu một giải pháp như vậy để không tồn tại cho hệ thống-F tuy nhiên.

— Jake

Tôi cũng nên thêm rằng tôi hiểu lý thuyết miền vẫn được đặt lý thuyết nguyên tắc. Đó là các hàm vẫn được đặt các hàm lý thuyết, chỉ là bạn chỉ quan tâm đến các hàm liên tục khi diễn giải các hàm trong một phép tính. Do đó, những hiểu biết của tôi dường như loại trừ System-F phù hợp với mô hình lý thuyết miền. Có lẽ đó là một trong những hiểu biết của tôi là sai ở đây.

— Jake

Tôi thấy, cảm ơn bạn đã làm rõ. Cách xử lý "giống như lý thuyết miền" nhất của hệ thống FI biết đến là "Không gian kết hợp" của Girard, cách xử lý được Paul Taylor nêu ra ở đây . Tôi không biết liệu đây có phải là một "lý thuyết hay" theo yêu cầu của bạn không, nhưng thành thật mà nói, tôi không thực sự thấy lý thuyết miền nói chung là tốt đẹp đối với ngữ nghĩa của tổng số ngôn ngữ ...

— cody

@cody: tsk, tsk.

— Andrej Bauer

Câu trả lời:

Có nhiều cách để mô hình đa hình thông qua lý thuyết miền, hãy để tôi chỉ mô tả một cách dễ hiểu, để bạn có thể tự suy nghĩ về nó. Đó là một "mô hình PER".

$\lambda$ $D$ $D \to D$ $D$ $D$ $D \cong \mathbb{N}_\bot \times (D \to D))$ $\Lambda : D \to (D \to D)$ $\Gamma : (D \to D) \to D$

$D$ $\tau$ $\sim_\tau$ $x \sim_\tau x$ $x$ $\tau$ $x \sim_\tau y$ $x$ $y$ $\tau$

$\mathbb{N}_\bot$ $D$ $\iota : \mathbb{N} \to D$ $\sim_\mathtt{nat}$

x \sim_{n a t} y ⟺ \exists n \in N . x = ι (n) = y .

$x \sim_\mathtt{nat} y \iff \exists n \in \mathbb{N} . x = \iota(n) = y.$

$\sim_\tau$ $\sim_\sigma$ $\sim_{\tau \to \sigma}$

x \sim_{τ \to σ} y ⟺ \forall z, w \in D . z \sim_{τ} w \Rightarrow Λ (x) (z) \sim_{σ} Λ (y) (w)

$x \sim_{\tau \to \sigma} y \iff \forall z, w \in D . z \sim_\tau w \Rightarrow \Lambda(x)(z) \sim_\sigma \Lambda(y)(w)$

$\lambda$ $D$

x \sim_{\forall X . τ (X)} y ⟺ for all PERs \approx, x \sim_{τ (\approx)} y .

$x \sim_{\forall X. \tau(X)} y \iff \text{for all PERs $\approx$, $x \sim_{\tau(\approx)} y$}.$

\forall X . X

$\forall X. X$

\forall X . X \to X

$\forall X . X \to X$

\forall X . X \to X \to X

$\forall X . X \to X \to X$

$\bot_D$ $\approx$

$\bot_D \approx \bot_D$
$x_0 \leq x_1 \leq x_2 \leq \cdots$ $y_0 \leq y_1 \leq y_2 \leq \cdots$ $D$ $x_i \approx y_i$ $i$ $\sup_i x_i \approx \sup_i y_i$

Bây giờ chúng ta có thể diễn giải bằng cách áp dụng định lý Kanster-Tarski về sự tồn tại của các điểm cố định, giống như chúng ta làm trong lý thuyết miền thông thường. Lần này, không trống, vì nó chứa chính xác . $\mathtt{fix}_{\tau} : (\tau \to \tau) \to \tau$ $\forall X . X$ $\bot_D$

— Andrej Bauer
nguồn

Đây là một câu trả lời tuyệt vời! Điều này về cơ bản cung cấp các công cụ tương tự mà tham số cung cấp cho chúng tôi và các công cụ của lý thuyết miền. Điều này thật đúng với gì mà tôi đã tìm kiếm. Chà, tôi đã có vài thứ để làm vào cuối tuần này rồi.

— Jake

Để ghi lại, tôi đã học được thứ này từ Dana Scott. Tôi khá chắc chắn John Reynold biết về các mô hình PER vào thời điểm ông phát minh ra tham số. Dù sao, tôi luôn nghĩ rằng tham số đến từ các mô hình PER.

— Andrej Bauer

Tôi đã có nó trong đầu rằng anh ấy là cố vấn của bạn. Điều này được viết ra bất cứ nơi nào hoặc đây là văn hóa dân gian?

— Jake

Có rất nhiều thứ được viết ra về điều này. Bạn đang tìm kiếm cái gì? Bài viết lịch sử đầu tiên (sẽ là của Dana Scott), một bài viết kinh điển khiến mọi thứ thực sự diễn ra, một cuốn sách giáo khoa?

— Andrej Bauer

Sách giáo khoa Tên miền và Lambda Tính toán của Roberto Amadio và Pierre-Louis Curien trình bày các mô hình PER trong Chương 15 và mô hình PER của Hệ thống F trong 15.2.

— Andrej Bauer

Roy Crole đưa ra một lời giải thích hay về cách sử dụng lý thuyết miền để mô hình đa hình loại trong cuốn sách Thể loại cho các loại , cụ thể trong phần 5.6.

— Nathan BeDell
nguồn

Ít nhất bạn có thể tóm tắt phần đó vì lợi ích của những người có thể không có cuốn sách này không? Một hoặc hai đoạn đưa ra những ý chính sẽ rất nhiều.

— David Richerby