Goldbach Conjecture và Busy Beaver số?

Bối cảnh: Tôi là một giáo dân hoàn chỉnh trong khoa học máy tính.

Tôi đã đọc về số Busy Beaver ở đây và tôi đã tìm thấy đoạn văn sau:

Nhân loại có thể không bao giờ biết giá trị của BB (6), chứ đừng nói đến giá trị của BB (7) hoặc bất kỳ số nào cao hơn trong chuỗi.

Thật vậy, đã là năm ứng cử viên hàng đầu và sáu quy tắc trốn tránh chúng ta: chúng ta không thể giải thích cách họ 'làm việc' theo cách nói của con người. Nếu sự sáng tạo thấm nhuần thiết kế của họ, thì không phải vì con người đặt nó ở đó. Một cách để hiểu điều này là ngay cả các máy Turing nhỏ cũng có thể mã hóa các vấn đề toán học sâu sắc. Theo phỏng đoán của Goldbach, rằng mọi số chẵn 4 hoặc cao hơn là tổng của hai số nguyên tố: 10 = 7 + 3, 18 = 13 + 5. Giả thuyết đã chống lại bằng chứng từ năm 1742. Tuy nhiên, chúng ta có thể thiết kế một máy Turing với, ồ, giả sử 100 quy tắc, kiểm tra từng số chẵn để xem liệu đó có phải là tổng của hai số nguyên tố hay không và liệu nó có tìm thấy một mẫu tương ứng với phỏng đoán. Sau đó, biết BB (100), về nguyên tắc, chúng ta có thể chạy máy này cho các bước BB (100), quyết định xem nó có dừng hay không, và từ đó giải quyết phỏng đoán của Goldbach.

Aaronson, Scott. "Ai có thể đặt tên cho số lớn hơn?" Ai có thể đặt tên cho số lớn hơn? Np, nd Web. Ngày 25 tháng 11 năm 2016.

Đối với tôi, có vẻ như tác giả đang gợi ý rằng chúng ta có thể chứng minh hoặc bác bỏ Giả thuyết Goldbach, một tuyên bố về vô số số, trong một số lượng tính toán hữu hạn. Có phải tôi đang thiếu một chút gì đó?

Tuyên bố là về vô số con số, nhưng trình diễn (hoặc bác bỏ) của nó sẽ phải là một bài tập hữu hạn. Nếu có thể.

Điều ngạc nhiên có thể đến từ giả định (sai) rằng việc tìm BB (100) sẽ là một vấn đề "dễ hơn về mặt lý thuyết", chỉ không thể vì lý do thực tế - vì có rất nhiều máy và chúng có thể chạy trong một thời gian dài trước khi dừng lại , nếu có - sau tất cả, chúng chỉ là những cỗ máy ...

Sự thật là việc khám phá BB (n), với n đủ lớn, phải là một nhiệm vụ không thể vượt qua, vì cả lý do thực tế và lý thuyết.

Ý tưởng từ tác giả là bạn có thể viết một chương trình trong 100 dòng (bất kỳ số hữu hạn cố định nào ở đây), thực hiện như sau: lấy số x, kiểm tra phỏng đoán. Nếu không đúng thì dừng tiếp tục vào số tiếp theo.

Biết số hải ly bận rộn, bạn có thể mô phỏng máy này cho số bước đó và sau đó quyết định xem nó có dừng hay không. Từ trên, nếu nó dừng lại - phỏng đoán không đúng, nếu nó không dừng lại - phỏng đoán là đúng.

Aaronson gần đây đã mở rộng chi tiết về ý tưởng / suy nghĩ này ở đây khi làm việc với Yedidia. [1] họ tìm thấy một cỗ máy 4888 rõ ràng cho phỏng đoán của Goldbachs. bạn có thể đọc bài báo để xem nó được xây dựng như thế nào. Các TM hiếm khi được xây dựng nhưng những TM có xu hướng giống như trình biên dịch dựa trên các ngôn ngữ cấp cao và trình biên dịch thêm nhiều trạng thái. TM "được xây dựng bằng tay" có thể dễ dàng sử dụng số lượng trạng thái ít hơn theo thứ tự, ví dụ như trong 100 hoặc dưới 100. nói cách khác, thực sự không có một nỗ lực nào trong bài viết này để cố gắng thực sự giảm thiểu # trạng thái . ý tưởng chung là âm thanh và các nhà khoa học máy tính thường không quá lo lắng về các hằng số chính xác được áp dụng công việc.

lý thuyết chung này được Caludes (cũng được trích dẫn bởi [1]) trong hai bài báo xuất sắc đưa ra một số định lý văn hóa dân gian dài trong lĩnh vực này và đã được các tác giả khác (ví dụ Michel) ghi nhận. [2] [ 3] về cơ bản, bất kỳ vấn đề toán học mở nào cũng có thể được chuyển đổi thành các vấn đề không thể giải quyết được. điều này là do hầu hết các vấn đề toán học liên quan đến việc tìm kiếm vô số trường hợp cho các mẫu và mẫu phản ứng có thể kiểm tra bằng thuật toán (nhưng có thể không hiệu quả hoặc yêu cầu các TM lớn, v.v.).

ngoài ra, các TM "rất nhỏ" (được tính bằng # trạng thái) có thể kiểm tra / tương đương các bài toán rất phức tạp. ví dụ: ước tính sơ bộ cho một TM để giải quyết phỏng đoán collatz sẽ là vài chục trạng thái.

do đó, có một kết nối / sự tương tự thú vị giữa tính không ổn định và tính hoàn chỉnh NP. NP là lớp các vấn đề có thể kiểm tra hiệu quả, tức là các trường hợp có thể được kiểm tra trong thời gian P. các vấn đề không thể giải quyết được là lớp của tất cả các vấn đề cho phép kiểm tra thuật toán đối với các mẫu phản ứng không có giới hạn về hiệu quả.

đây là một cách cơ bản để hiểu mối liên hệ với vấn đề hải ly bận rộn. tất cả các vấn đề không thể giải quyết được là tương đương do tính toán / tương đương của Turing. Giống như tất cả các vấn đề hoàn chỉnh NP có thể được chuyển đổi sang nhau trong thời gian P (giảm), tất cả các vấn đề không thể giải quyết được đều tương đương do tính hoàn chỉnh của Turing và mức giảm có thể tính toán (có thể mất thời gian tùy ý). do đó, vấn đề hải ly bận rộn theo nghĩa này tương đương với vấn đề tạm dừng và nếu một người có thể giải được hải ly bận rộn, thì người ta có thể giải quyết tất cả các câu hỏi toán học mở.

[1] Một TM tương đối nhỏ có hành vi độc lập với lý thuyết tập hợp / Yedidia, Aaronson

[2] Đánh giá mức độ phức tạp của các vấn đề toán học: Phần 1 / Calude

[3] Đánh giá mức độ phức tạp của các vấn đề toán học: Phần 2 / Calude

1. Giả thuyết Goldbach có thể bị làm sai lệch (nếu thực sự sai) bởi một chương trình TM như vậy; nó không thể được chứng minh là đúng theo cách này (tuy nhiên, một nhà toán học sâu sắc có thể làm điều này).

2. Biết BB (27) sẽ cho phép dừng tìm kiếm Goldbach tại một số điểm; tuy nhiên BB (27) (hoặc Chaitin Omega (27)) trước đây sẽ yêu cầu phải biết, liệu Goldbach TM cuối cùng có dừng lại hay không.

Do đó, thật sai lầm khi nói "BB (27) bao gồm câu trả lời cho Goldbach". Mặc dù vậy, quan trọng hơn là: "Goldbach (và nhiều người khác) là điều kiện tiên quyết cho số BB (27)", nói cách khác, không có thứ gọi là "chức năng BB" mà bạn thách thức ở 27. Chúng tôi Chỉ cần chạy tất cả các máy 27 trạng thái, inkl. Goldbach, và chỉ sau khi thực tế thấy BB (27). Và, từ một POV thực tế, ngay cả BB (6) có vẻ khó nắm bắt.

Tôi nghĩ rằng nó cảm thấy ít bí ẩn hơn nếu chúng ta nói lại quan điểm của Aaronson về mặt bằng chứng:

$C$$C$$C$$C$

$C$$C$$n$$BB(n)$$C = O(BB(n))$