Mục đích của việc diễn giải các yếu tố trong bằng chứng về việc giảm PCP thành vấn đề có thể quyết định tính hợp lệ của logic vị ngữ là gì?

Vì câu hỏi của tôi liên quan trực tiếp đến một phần của văn bản từ cuốn sách năm 2004, Logic trong Khoa học máy tính: Mô hình hóa và lý luận về các hệ thống (Ấn bản 2) của Michael Huth và Mark Ryan , để cung cấp bối cảnh cho cuộc thảo luận sau đây, tôi trích dẫn một phần nguyên văn cuốn sách:

Vấn đề quyết định về tính hợp lệ trong logic vị ngữ là không thể giải quyết được: không có chương trình nào tồn tại, với bất kỳ , quyết định xem .$\varphi$$\varphi$

BÀI VIẾT: Như đã nói trước đây, chúng tôi giả vờ rằng tính hợp lệ là có thể quyết định đối với logic vị ngữ và do đó giải quyết vấn đề tương ứng Post (không hòa tan). Đưa ra một ví dụ về vấn đề tương ứng : chúng ta cần có khả năng xây dựng, trong không gian và thời gian hữu hạn và đồng nhất cho tất cả các trường hợp, một số công thức của logic vị ngữ sao cho giữ iff vấn đề tương ứng ở trên có một giải pháp.$C$

$$s_1 s_2 ... s_k$$ $$t_1 t_2 ... t_k$$ $\varphi$$\varphi$$C$

Như là biểu tượng chức năng, chúng tôi chọn một hằng số và hai biểu tượng chức năng và mỗi trong số đó đòi hỏi phải có một cuộc tranh cãi. Chúng ta nghĩ về như chuỗi rỗng, hoặc từ, và và biểu tượng đại diện cho nối với 0, tương ứng 1. Vì vậy, nếu là một chuỗi nhị phân của bit, chúng ta có thể mã hóa mà lên như hạn . Lưu ý rằng mã hóa này đánh vần từ đó ngược. Để thuận tiện cho việc đọc các công thức đó, chúng tôi viết tắt các thuật ngữ như bởi .$e$$f_0$$f_1$$e$$f_0$$f_1$$b_1 b_2 ... b_l$$f_{b_l}(f_{b_{l−1}}...(f_{b_2}(f_{b_1}(e)))...)$$f_{b_l}(f_{b_{l−1}}...(f_{b_2}(f_{b_1}(t)))...)$$f_{{b_1}{b_2}...{b_l}}(t)$

Chúng tôi cũng yêu cầu một ký hiệu vị ngữ mong đợi hai đối số. Dự định nghĩa của là có một số chuỗi các chỉ số mà là một thuật ngữ đại diện cho và đại diện cho . Do đó, xây dựng một chuỗi bằng cách sử dụng cùng một chuỗi các chỉ số như ; chỉ sử dụng trong khi sử dụng .$P$$P(s,t)$$(i_1,i_2,...,i_m)$$s$$s_{i_1} s_{i_2}...s_{i_m}$$t$$t_{i_1} t_{i_2}...t_{i_m}$$s$$t$$s$$s_i$$t$$t_i$

Câu của chúng tôi có cấu trúc thô nơi chúng tôi đặt$\varphi$$\varphi_1 \wedge \varphi_2 \implies \varphi_3$

$$\varphi_1 \stackrel{def}{=} \bigwedge\limits_{i=1}^k P\left(f_{s_i}(e),f_{t_i}(e)\right)$$

$$\varphi_2 \stackrel{def}{=} \forall v,w \hspace{1mm} P(v,w)\rightarrow\bigwedge\limits_{i=1}^kP(f_{s_i}(v),f_{t_i}(w))$$

$$\varphi_3 \stackrel{def}{=} \exists z\hspace{1mm} P(z,z)$$ .

Yêu cầu của chúng tôi là giữ iff vấn đề tương ứng Post có một giải pháp.$\varphi$$C$

Trong việc chứng minh PCP ⟹ Hiệu lực:

Ngược lại, chúng ta hãy giả định rằng bài viết có vấn đề tương ứng C có một số giải pháp, [...] Cách chúng tôi tiến hành ở đây là do giải thích hữu hạn, chuỗi nhị phân trong lĩnh vực giá trị của mô hình . Điều này không giống như mã hóa trình thông dịch cho một ngôn ngữ lập trình bằng ngôn ngữ lập trình khác. Việc giải thích được thực hiện bởi một diễn giải chức năng được xác định theo quy nạp trên cấu trúc dữ liệu của các chuỗi nhị phân, hữu hạn:$A′$$M′$

$$\text{interpret}(\epsilon) \stackrel{def}{=} e^{M′}$$

$$\text{interpret}(s0) \stackrel{def}{=} {f_0}^{M′}(\text{interpret}(s))$$

$$\text{interpret}(s1) \stackrel{def}{=} {f_1}^{M′}(\text{interpret}(s))$$ .

[...] Sử dụng [ ] và thực tế là , chúng tôi kết luận rằng với . [...] vì , chúng tôi biết rằng với tất cả chúng tôi có điều đó với . Sử dụng hai sự kiện này, bắt đầu bằng , chúng tôi liên tục sử dụng quan sát sau để thu được$\text{interpret}(b_1 b_2...b_l) = f_{b_l}^{M′}(f_{b_{l-1}}^{M′}(...(f_{b_1}^{M′}(e{M′})...)))$$M\models\varphi_1$$(\text{interpret}(s_i), \text{interpret}(t_i)) \in P^{M′}$$i = 1,2,...,k$$M′ \models \varphi_2$$(s,t) \in P^{M′}$$(\text{interpret}(ss_i),\text{interpret}(tt_i)) \in P^{M′}$$i=1,2,...,k$$(s, t) = (s_{i_1}, t_{i_1})$

(2.9) .$(\text{interpret}(s_{i_1}s_{i_2}...s_{i_n}),\text{interpret}(t_{i_1}t_{i_2}...t_{i_n})) \in P^{M′}$

[...] Do đó (2.9) xác minh trong và do đó .$\exists{z} P(z,z)$$M′$$M′ \models \varphi_3$

Để chứng minh rằng tính hợp lệ của logic vị ngữ là không thể giải quyết được, theo cách tiếp cận tôi học được từ trường học, dựa trên cuốn sách của Huth & Ryan (ấn bản 2, trang 135) , khi xây dựng việc giảm PCP thành vấn đề về Hiệu lực, "Chuỗi nhị phân hữu hạn" của vũ trụ được diễn giải bằng " hàm phiên dịch ", mã hóa chuỗi nhị phân thành các vật liệu tổng hợp của các chức năng của mô hình.

Sau đó, nó tiếp tục chỉ ra rằng, bằng cách sử dụng thực tế là tiền đề của phải giữ cho nó là không tầm thường, cả hai công thức con của tiền đề có thể được biểu thị bằng " chức năng diễn giải " đã nói. Từ đó, hậu quả cũng xảy ra, vì nó cũng có thể được biểu thị theo cách có chức năng diễn giải theo sau các biểu thức trước với diễn giải .$\varphi$

Câu hỏi của tôi là: mục đích của " chức năng phiên dịch " này là gì? Tại sao chúng ta không thể sử dụng các phát minh trước đó và nhận được kết quả tương tự? Chúng ta nhận được gì khi sử dụng phiên dịch để diễn tả các yếu tố của mình?

Và cũng vậy, nếu vũ trụ của chúng ta chứa một số yếu tố tùy ý; đó là, nếu chúng không phải là chuỗi nhị phân thì sao? Chúng ta chỉ cần xây dựng một số ánh xạ của hai?

Hãy bắt đầu với chính xác những gì bạn đang cố gắng chứng minh.

Bạn đang xử lý một chữ ký $\sigma$ bao gồm một hằng số $e$, hai biểu tượng chức năng $f_0,f_1$và một vị ngữ nhị phân $P(s,t)$. Chúng tôi biểu thị bằng$\mathcal{C}$ tập hợp tất cả các trường hợp "có" cho vấn đề tương ứng bài, tức là tất cả các chuỗi các cặp nhị phân được đặt hàng $(s_1,t_1),...,(s_k,t_k)$ sao cho tồn tại các chỉ số $i_1,...,i_n$ cho một số $n\in\mathbb{N}$ thỏa mãn $s_{i_1}\cdot...\cdot s_{i_n}=t_{i_1}\cdot...\cdot t_{i_n}$ ($\cdot$ viết tắt của từ ghép).

Bạn muốn chỉ ra một ví dụ $c=(s_1,t_1),...,(s_k,t_k)$ đến vấn đề tương ứng bài, sau đó

$c\in\mathcal{C} \iff$ Nếu $\mathcal{M}$ là bất kỳ mô hình phiên dịch $\sigma$, sau đó $\mathcal{M\models\ \varphi(c)}$

Ở đâu $\varphi(c)=\varphi_1(c)\land\varphi_2(c)\rightarrow \varphi_3(c)$và

$\varphi_1(c)=\bigwedge\limits_{i=1}^k P\left(f_{s_i}(e),f_{t_i}(e)\right)$,

$\varphi_2(c)=\forall v,w \hspace{1mm} P(v,w)\rightarrow\bigwedge\limits_{i=1}^kP(f_{s_i}(v),f_{t_i}(w))$,

$\varphi_3(c)=\exists z\hspace{1mm} P(z,z)$.

Ở trên, đưa ra một chuỗi nhị phân $s=s_1,...,s_l$, $f_s$ biểu thị thành phần $f_{s_l}\circ f_{s_{l-1}}\circ ...\circ f_{s_1}$. Đây là sự giảm từ PCP xuống tính hợp lệ trong logic vị ngữ được mô tả trong "logic trong khoa học máy tính" của Huth & Ryan.

Chúng tôi nghĩ về $f_0,f_1$ như nối với $0,1$ tương ứng và $e$như chuỗi rỗng. Trong trường hợp đó, chúng ta có thể nghĩ về$f_s(e)$ như một đại diện của chuỗi $s$ trong thế giới của $\mathcal{M}$. Trực giác,$\varphi_1,\varphi_2$ buộc vị ngữ $P(v,w)$ để giữ khi nào (có lẽ trong một số trường hợp khác, nhưng chúng tôi không quan tâm) $v=f_s(e), w=f_t(e)$ (điều đó có nghĩa là $v,w$ là những diễn giải của một số chuỗi hữu hạn $s,t$ trong thế giới của $\mathcal{M}$) và tồn tại một chuỗi các chỉ số $i_1...i_n$ như vậy mà $s=s_{i_1}\cdot...\cdot s_{i_n}$ và $t=t_{i_1}\cdot...\cdot t_{i_n}$. Nếu$P(v,w)$ thực sự có ý nghĩa đó (đó là những gì xảy ra nếu $\mathcal{M}$ thỏa mãn $\varphi_1\land\varphi_2$), sau đó $c\in\mathcal{C}\iff \exists z P(z,z)$.

Bạn hỏi về $\Rightarrow$ hướng của bằng chứng, vì vậy bạn phải xử lý các mô hình tùy ý diễn giải $\sigma$, nơi thế giới có thể có các yếu tố không liên quan gì đến chuỗi (điều này liên quan đến câu hỏi thứ hai của bạn). Đây là nơi hàm giải thích xuất hiện. Chúng tôi cung cấp một sự tương ứng giữa tất cả các chuỗi hữu hạn và một tập hợp con của thế giới$\mathcal{M}$, đó là điều khá tự nhiên với bản chất của chữ ký của chúng tôi. Một chuỗi$s$ được ánh xạ tới phần tử $f_s(e)$, có thể là một chuỗi / số / bảng hoặc bất cứ thứ gì bạn thích.

Bây giờ, khi chúng ta có khả năng nghĩ về các yếu tố của hình thức $f_s(e)$ trong $\mathcal{A}_{\mathcal{M}}$ (thế giới của $\mathcal{M}$) là chuỗi hữu hạn, chúng ta có thể tiếp tục và chứng minh $\Rightarrow$hàm ý. Nếu$\mathcal{M}$ thỏa mãn $\varphi_1,\varphi_2$, như chúng tôi đã đề cập, $P(v,w)$ giữ khi $v=f_s(e), w=f_t(e)$ (bây giờ chúng ta có thể nghĩ về $v,w$ dưới dạng chuỗi) và tồn tại một chuỗi các chỉ số $i_1...i_n$ như vậy mà $s=s_{i_1}\cdot...\cdot s_{i_n}$ và $t=t_{i_1}\cdot...\cdot t_{i_n}$. Như vậy, nếu$c\in \mathcal{C}$và $i_1...i_n$ là một chuỗi các chỉ số với $s=s_{i_1}...s_{i_n}=t_{i_1}...t_{i_n}=t$, sau đó $P(f_s(e),f_t(e))$ giữ, và chúng ta có $\mathcal{M}\models \varphi_3$, từ $s=t$ ngụ ý $f_s(e)=f_t(e)$.