Độ phức tạp của Bằng chứng hoặc Không bảo vệ P = NP

Đã có nghiên cứu nào về độ phức tạp chứng minh của độ phân giải đối với bài toán P = NP chưa? Nếu không, do thiếu sự tiến bộ của vấn đề, sẽ không hợp lý khi phỏng đoán rằng bất kỳ bằng chứng nào giải quyết vấn đề P = NP sẽ yêu cầu số bước siêu đa thức?

Người ta biết rằng bất kỳ bằng chứng nào về giới hạn siêu đa mạch (là các tuyên bố mạnh hơn một chút so với ) đều yêu cầu chứng minh siêu đa thức, thậm chí theo cấp số nhân trong các hệ thống chứng minh yếu như độ phân giải. Tổng quát hóa điều này cho các hệ thống bằng chứng mạnh mẽ hơn là một vấn đề mở nổi tiếng.$P\neq NP$

Xem phần 5 của khảo sát này của A. Razborov nơi những điều này được hiển thị.

Độ phức tạp chứng minh chỉ có ý nghĩa khi có một chuỗi các câu lệnh phụ thuộc vào một tham số . Ví dụ, mệnh đề P H P n tuyên bố (không chính thức) rằng không có mệnh đề [ n + 1 ] → [ n ] . Chuỗi các mệnh đề này là khó đối với các hệ thống chứng minh mệnh đề nhất định.$n$$\mathsf{PHP}_n$$[n+1] \to [n]$

Câu lệnh là một câu lệnh đơn, vì vậy bạn không thể áp dụng trực tiếp độ phức tạp bằng chứng cho nó. Tuy nhiên, chuỗi các câu lệnh sau đây có ý nghĩa, đối với các hàm cụ thể s ( n ) : "không có mạch có kích thước s ( n ) giải SAT chính xác cho các trường hợp có độ dài n ". Điều này đã được xem xét trong tài liệu, ví dụ bởi Razborov (người đã xem xét việc thiết lập độ phức tạp chứng minh thống nhất, tức là số học giới hạn).$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$s(n)$$s(n)$$n$

Chúng tôi có 3 trường hợp:

• Có tồn tại một bằng chứng cho thấy . Hơn có một thuật toán giải quyết vấn đề "Phát ra bằng chứng rằng P = N P " chạy trong thời gian O ( 1 ) . Nó mã hóa bằng chứng trong chính Turing Machine và phát ra nó. Nó chạy cùng một lúc bất kể đầu vào của nó.$P = NP$$P=NP$$O(1)$

• Tương tự, nếu tồn tại một bằng chứng cho thấy , chúng ta có thể viết một thuật toán phát ra bằng chứng này trong thời gian O ( 1 ) .$P\neq NP$$O(1)$

• $O(\infty)$

Chỉ vì chúng tôi không tìm thấy bất kỳ bằng chứng nào không có nghĩa là nó không tồn tại và các lớp phức tạp được định nghĩa theo những gì tồn tại.

$P=NP$

Những gì chúng ta biết là, nói chung, vấn đề "Đưa ra tuyên bố trong logic Dự đoán và xác định xem có bằng chứng nào cho nó không" là không thể giải quyết được. Vì vậy, không có quy trình tạo bằng chứng chung nào mà chúng ta có thể cắm P vs NP vào, được đảm bảo để tạo ra kết quả.

Nếu P = NP thì tất cả những gì bạn cần làm là tạo ra thuật toán thời gian đa thức để giải một số bài toán hoàn thành NP và chứng minh rằng đó thực sự là đa thức (có thể khó, ví dụ thuật toán Simplex thường chạy rất nhanh nhưng chứng minh rằng nó chạy nhanh có vẻ khó khăn vô cùng).

$n^{100}$