chuỗi các vấn đề xảy ra

Chúng ta có biết một chuỗi vô tận các vấn đề quyết định trong đó thuật toán hiệu quả nhất cho mỗi vấn đề $\Theta(n^k)$ thời gian, ở đâu $k$ tăng không giới hạn?

Ví dụ, giả sử rằng chúng ta sẽ biết rằng việc tìm kiếm một k-clique mất $\Theta(n^k)$, sau đó chuỗi này có thể là {1-clique, 2-clique, 3-clique, ...}. Tuy nhiên, có lẽ có các thuật toán hiệu quả hơn cho k-clique, vì vậy câu trả lời này không chính xác.

BIÊN TẬP:

• Theo Định lý phân cấp thời gian (bao gồm "P không thu gọn thành DTIME ($n^k$) cho bất kỳ cố định $k$"), Một chuỗi như vậy nên tồn tại.
• Sau một số thảo luận trong các ý kiến, các vấn đề NP phổ biến không phải là ứng cử viên tốt. Nếu nó chỉ mất$O(n)$ thời gian để kiểm tra một chứng chỉ (hoặc $O(n^c)$, Ở đâu $c$ là một hằng số độc lập với $k$), nó sẽ ngụ ý rằng $P\neq NP$

Bạn để mô hình tính toán mở. Tôi sẽ giả sử rằng câu hỏi đề cập đến các máy truy cập ngẫu nhiên (RAM), vì đó là thông lệ khi người ta yêu cầu số mũ thực tế trong thời gian đa thức.

Để cho $P_k$ là tập hợp (mã hóa) RAM $M$, như vậy mà $M$ dừng lại nhiều nhất $|M|^k$ các bước sử dụng tối đa ban đầu $|M|^k$các ô nhớ. Một RAM phổ quát có thể giải quyết$P_k$ trong $O(n^k)$.

Mặt khác, $P_k$ là vấn đề chung cho $DTIME(n^k)$(trong mô hình RAM và giảm thời gian tuyến tính). Là một trường hợp đặc biệt của phiên bản RAM của định lý hierachy thời gian, một đường chéo đơn giản cho thấy rằng tất cả các thuật toán cho$P_k$ có thời gian chạy $\Omega(n^k)$. Do đó, sự phức tạp của$P_k$ Là $\Theta(n^k)$ như đã hỏi

Độ chặt phụ thuộc rất nhiều vào mô hình tính toán. Phiên bản máy Turing của định lý phân cấp thời gian có một$\log n$lỗ hổng. Để cho$P'_k$ là tập hợp (mã hóa) máy Turing $M$, như vậy mà $M$ dừng lại nhiều nhất $\frac{|M|^k}{\log n}$các bước. Sau đó$P'_k$ có thể được giải quyết trong $n^k$ thời gian bởi một máy Turing phổ dụng và tất cả các thuật toán có thời gian chạy $\Omega(\frac{n^k}{\log n})$. Tôi nghi ngờ đây là điều tốt nhất có thể làm.

[BIÊN TẬP]

Trong một bình luận, bạn yêu cầu các vấn đề thông thường hơn , như các vấn đề về đồ thị hoặc logic.

Trước tiên, hãy để tôi chỉ ra làm thế nào $k$-Clique (như được đề xuất trong câu trả lời) dường như không phải là một ứng cử viên tốt. Nếu chúng ta có thể chứng minh rằng$k$-Clique đòi hỏi thời gian $\Omega(n^k)$ (hoặc là $\Omega(n^{f(k)})$ đối với một số không giới hạn $f$), chúng tôi đã ngụ ý rằng Clique không ở P. Và do đó P khác với NP. Điều đó không có khả năng là dễ dàng. Điều tương tự cũng xảy ra đối với các lát cắt của bất kỳ vấn đề nào khác mà chúng ta biết là ở NP hoặc trong một số lớp khác như PSPACE không được biết là khác với P.

Mọi vấn đề có thể được định nghĩa lại dưới dạng vấn đề biểu đồ, bằng cách mã hóa đầu vào dưới dạng biểu đồ. Tôi không biết nếu bạn gọi một phiên bản đồ thị của$P_k$thông thường. Tôi sẽ không gọi nó là tự nhiên.

Đối với logic, tôi có thể cung cấp một ví dụ. Tuy nhiên, đây không phải là logic boolean và có một khoảng cách giữa giới hạn dưới và giới hạn trên. Ví dụ này dựa trên định lý Immerman-Vardi. Để cho$\mathcal L$là logic thứ nhất được mở rộng bởi các toán tử điểm cố định ít nhất. Để cho${\mathcal L}^k$ biểu thị đoạn chỉ $k$biến thứ tự đầu tiên được cho phép. Nó được phép sử dụng lại các biến, vì vậy hạn chế là mỗi biểu mẫu con có nhiều nhất$k$biến miễn phí. Vấn đề$M_k$ là vấn đề kiểm tra mô hình cho ${\mathcal L}^k$, đó là trên đầu vào của một công thức $\varphi\in{\mathcal L}^k$ và một cấu trúc $\mathfrak A$ phù hợp với từ vựng, nhiệm vụ là quyết định xem $\mathfrak A\models\varphi$, đó là cho dù $\varphi$ đúng trong $\mathfrak A$.

$M_k$ có thể được giải quyết kịp thời $O(n^{2k+1})$. Mặt khác, đối với một số hằng số$c$, $M_{3k+c}$ khó cho $DTIME(n^k)$ (nơi chúng tôi cũng yêu cầu một $n^k$ràng buộc vào nội dung của các ô nhớ). tôi tin$c=2$đủ. Từ đường chéo chúng ta có được điều đó$M_{3k+c}$ đòi hỏi thời gian $\Omega(n^k)$, vì thế $M_k$ đòi hỏi thời gian $\Omega(n^{\frac{k-c}3})$. Các ràng buộc không chặt chẽ trong ý nghĩa của$\Theta(n^{k'})$ cho một số $k'$nhưng ít nhất chúng ta có $n^{\Theta(k)}$.