Là một Turing Machine, theo định nghĩa, là máy mạnh nhất?

Tôi đồng ý rằng Máy Turing có thể thực hiện "tất cả các vấn đề toán học có thể có". Nhưng đó là bởi vì nó chỉ là một đại diện máy của một thuật toán: đầu tiên làm điều này, sau đó làm điều đó, cuối cùng là xuất ra cái đó.

Ý tôi là bất cứ điều gì có thể giải được đều có thể được biểu diễn bằng thuật toán (bởi vì đó chính xác là định nghĩa của 'có thể giải được'). Nó chỉ là một tautology. Tôi nói không có gì mới ở đây.

Và bằng cách tạo ra một đại diện máy của một thuật toán, nó cũng sẽ giải quyết tất cả các vấn đề có thể xảy ra cũng không có gì mới. Đây cũng chỉ là tautology. Vì vậy, về cơ bản khi người ta nói rằng Turing Machine là máy mạnh nhất, điều có nghĩa là máy mạnh nhất là máy mạnh nhất!

Định nghĩa "mạnh nhất": Điều đó có thể chấp nhận bất kỳ ngôn ngữ nào.
Định nghĩa của "Thuật toán": Quá trình để làm bất cứ điều gì. Đại diện máy của "Thuật toán": Một máy có thể làm bất cứ điều gì.

Do đó, điều hợp lý là biểu diễn máy của một thuật toán sẽ là máy mạnh nhất. Điều gì mới Alan Turing đã cho chúng ta?

Tôi đồng ý rằng Máy Turing có thể thực hiện "tất cả các vấn đề toán học có thể có".

Vâng, bạn không nên, bởi vì nó không đúng. Ví dụ, máy Turing không thể xác định xem đa thức có hệ số nguyên có giải pháp nguyên hay không ( bài toán thứ mười của Hilbert ).

Là Turing Machine, theo định nghĩa, là máy mạnh nhất?

Không. Chúng ta có thể mơ về một hệ thống phân cấp vô hạn của những cỗ máy mạnh hơn . Tuy nhiên, máy Turing là máy mạnh nhất mà chúng ta biết, ít nhất là về nguyên tắc, cách chế tạo. Tuy nhiên, đó không phải là một định nghĩa: chúng ta không biết làm thế nào để xây dựng bất cứ thứ gì mạnh hơn, hoặc thậm chí là có thể.

Điều gì mới Alan Turing đã cho chúng ta?

Một định nghĩa chính thức của thuật toán. Không có định nghĩa như vậy (ví dụ: máy Turing), chúng tôi chỉ có các định nghĩa không chính thức về thuật toán, dọc theo dòng "Quy trình được chỉ định chính xác để giải quyết một cái gì đó". Tuyệt. Nhưng những bước cá nhân nào là những thủ tục được phép thực hiện?

Là các bước hoạt động số học cơ bản? Là tìm độ dốc của một đường cong một bước? Là tìm rễ của đa thức một bước? Là tìm số nguyên của đa thức một bước? Mỗi người trong số họ dường như là tự nhiên. Tuy nhiên, nếu bạn cho phép tất cả trong số họ, "quy trình được chỉ định chính xác" của bạn mạnh hơn máy Turing, điều đó có nghĩa là họ có thể giải quyết những điều không thể giải quyết bằng thuật toán. Nếu bạn cho phép tất cả trừ cái cuối cùng, bạn vẫn ở trong vương quốc tính toán Turing.

Nếu chúng ta không có một định nghĩa chính thức về thuật toán, chúng ta thậm chí sẽ không thể hỏi những câu hỏi này. Chúng tôi sẽ không thể thảo luận về những gì thuật toán có thể làm, bởi vì chúng tôi sẽ không biết thuật toán là gì .

Bạn không đúng khi bạn liên tục đưa ra những tuyên bố về điều này hoặc đó là "chỉ là một tautology". Vì vậy, cho phép tôi đưa yêu sách của bạn vào một chút bối cảnh lịch sử.

Trước hết, bạn cần làm cho các khái niệm bạn sử dụng chính xác. Vấn đề là gì? Thuật toán là gì? Máy là gì? Bạn có thể nghĩ rằng những điều này là hiển nhiên, nhưng một phần tốt của những năm 1920 và 1930 đã được các nhà logic học cố gắng tìm ra những điều này. Có một số đề xuất, một trong số đó là máy Turing, thành công nhất. Sau đó hóa ra các đề xuất khác tương đương với máy Turing. Bạn phải tưởng tượng một thời đại khi từ "máy tính" biểu thị một người chứ không phải một cái máy. Bạn chỉ đang cưỡi sóng và hậu quả của những phát minh xuất sắc bởi những bộ óc thông minh từ một trăm năm trước, mà không nhận thức được nó.

Máy Turing được mô tả cụ thể về các trạng thái, đầu và băng làm việc. Rõ ràng là điều này làm cạn kiệt khả năng tính toán của vũ trụ chúng ta đang sống. Chúng ta không thể tạo ra một cỗ máy mạnh hơn bằng điện, nước hay hiện tượng lượng tử? Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta bay một máy Turing vào một lỗ đen với tốc độ và hướng phù hợp, để nó có thể thực hiện vô số bước trong thời gian xuất hiện hữu hạn cho chúng ta? Bạn không thể chỉ nói "rõ ràng là không" - trước tiên bạn cần thực hiện một số tính toán trong thuyết tương đối rộng. Và điều gì sẽ xảy ra nếu các nhà vật lý tìm ra cách để giao tiếp và điều khiển các vũ trụ song song, để chúng ta có thể chạy vô số máy Turing trong thời gian song song?

Nó không quan trọng mà hiện nay chúng ta không thể làm những điều này. Tuy nhiên, điều quan trọng là bạn hiểu rằng Turing phải suy nghĩ về những gì có thể về mặt vật lý (dựa trên kiến ​​thức về vật lý vào thời điểm đó). Ông không chỉ viết ra "một tautology". Khác xa, anh cẩn thận phân tích ý nghĩa của tính toán theo nghĩa không chính thức, sau đó anh đề xuất một mô hình chính thức, lập luận rất cẩn thận rằng mô hình này nắm bắt những gì mọi người hiểu bằng "tính toán", và anh đã đưa ra một số định lý quan trọng về nó. Một trong những định lý này nói rằng máy Turing không thể giải quyết tất cả các vấn đề toán học (trái với một trong những tuyên bố sai của bạn). Tất cả những điều này, trong một bài báo duy nhất, được viết trong khi tiêm phòng mùa hè, khi anh còn là học sinh.là phát minh ra ý tưởng của máy tính đa năng hiện đại. Sau đó, nó chỉ là một vấn đề đơn giản của kỹ thuật.

Điều đó có trả lời những gì Turing đã đóng góp cho nhân loại vượt ra ngoài một tautology không? Và bạn đã thực sự đọc bài báo của anh ấy ?

Rằng "bất cứ điều gì có thể giải được đều có thể được biểu diễn bằng thuật toán" hoàn toàn không rõ ràng.

Đây là đối tượng của cuộc tranh luận gay gắt, kể từ khi Alan Turing, làm lại các ý tưởng của Alonzo Church, đã đề xuất một định nghĩa về các con số tính toán có dạng máy mà bạn đang đề cập. Điều quan trọng, những người đó không phải là những người duy nhất làm việc về loại điều này, vào thời điểm đó.

Chúng tôi vẫn gọi nó là một luận điểm - hoặc một phỏng đoán - vì "bất cứ điều gì có thể tính toán" rõ ràng không phải là một đối tượng toán học chính xác, có cấu trúc và phạm vi có thể được nghiên cứu theo cách không suy đoán.

Đầu tiên, điều quan trọng cần lưu ý là Turing Machines ban đầu được Turing nghĩ ra không phải là một mô hình của bất kỳ loại máy tính có thể nhận biết vật lý nào mà là một giới hạn lý tưởng cho những gì con người có thể tính toán được trong cơ học từng bước cách (không sử dụng trực giác). Điểm này bị hiểu lầm rộng rãi - xem [1] cho một giải trình xuất sắc về chủ đề này và các chủ đề liên quan.

Các giới hạn về độ chính xác được đưa ra bởi Turing cho Turing Machines của mình dựa trên các giới hạn được quy định của bộ máy cảm giác của con người. Tổng quát hóa các phân tích của Turing cho các thiết bị điện toán có thể thực hiện được (và các luận điểm của Church-Turing tương tự) không tồn tại cho đến sau này (1980) do Robin Gandy - với những hạn chế dựa trên các định luật vật lý. Như Odifreddi nói trên p. 51 của [2] (kinh thánh của lý thuyết đệ quy cổ điển)

Máy Turing là thiết bị lý thuyết, nhưng đã được thiết kế với những hạn chế về thể chất. Đặc biệt, chúng tôi đã kết hợp trong các hạn chế mô hình của mình đến từ:

• (a) ATOMISM, bằng cách đảm bảo rằng lượng thông tin có thể được mã hóa trong bất kỳ cấu hình nào của máy (dưới dạng hệ thống hữu hạn) bị giới hạn; và

• (b) TƯƠNG THÍCH, bằng cách loại trừ các hành động ở khoảng cách xa, và làm cho hiệu ứng nhân quả lan truyền thông qua các tương tác địa phương. Gandy [1980] đã chỉ ra rằng khái niệm về máy Turing đủ để nói chung, theo một nghĩa chính xác, bất kỳ thiết bị điện toán nào cũng thỏa mãn những hạn chế tương tự.

và trên p. 107: (Một lý thuyết chung về các thiết bị rời rạc, xác định)

Phân tích (Church [1957], Kolmogorov và Uspenskii [1958], Gandy [1980]) bắt đầu từ các giả định của thuyết nguyên tử và thuyết tương đối. Cái trước làm giảm cấu trúc của vật chất thành một tập hợp hữu hạn các hạt cơ bản có kích thước giới hạn, và do đó biện minh cho khả năng lý thuyết của việc tháo dỡ một cỗ máy thành một tập hợp các thành phần cơ bản. Cái sau áp đặt một giới hạn trên (tốc độ ánh sáng) vào tốc độ lan truyền của các thay đổi nguyên nhân, và do đó biện minh cho khả năng lý thuyết của việc giảm hiệu ứng nhân quả tạo ra trong một vùng tức thời của không gian V, đối với các hành động được tạo ra bởi các vùng có điểm nằm trong khoảng cách c * t từ một số điểm V. Tất nhiên, các giả định không tính đến các hệ thống liên tục hoặc cho phép hành động không giới hạn ở khoảng cách (như hệ thống hấp dẫn của Newton).

Phân tích của Gandy cho thấy rằng HÀNH VI ĐƯỢC TUYỆT VỜI, CHO BẤT K DE THIẾT BỊ NÀO VỚI MỘT NỀN TẢNG CỐ ĐỊNH VỀ THÀNH PHẦN CỦA CÁC CẤU HÌNH KHẢ NĂNG CỦA NÓ (theo nghĩa là cả hai cấp độ cấu thành khái niệm từ các thành phần cấu thành và số lượng cấu thành từ bất kỳ cấu trúc nào bất kỳ cấu hình nào, bị giới hạn), VÀ CỐ ĐỊNH CỐ ĐỊNH, THIẾT BỊ HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG CHO HÀNH ĐỘNG ĐỊA PHƯƠNG VÀ TOÀN CẦU (trước đây là cách xác định hiệu ứng của một hành động đối với các bộ phận có cấu trúc, sau là cách lắp ráp các hiệu ứng cục bộ). Hơn nữa, phân tích là tối ưu theo nghĩa, khi được thực hiện chính xác, mọi điều kiện thư giãn trở nên tương thích với bất kỳ hành vi nào, và do đó nó cung cấp một mô tả đầy đủ và cần thiết về hành vi đệ quy.

Phân tích của Gandy đưa ra một viễn cảnh rất rõ ràng về sức mạnh và những hạn chế của Turing Machines. Rất đáng để đọc để hiểu sâu hơn về những vấn đề này. Tuy nhiên, được cảnh báo trước rằng bài báo năm 1980 của Gandy [3] được coi là khó khăn ngay cả với một số cognoscenti. Bạn có thể thấy hữu ích khi lần đầu xem qua các bài báo trong [4] của J. Shepherdson và A. Makowsky.

[1] Sieg, Wilfried. Thủ tục cơ học và kinh nghiệm toán học. [trang 71--117 về Toán học và tâm trí. Các bài viết từ Hội thảo về Triết học Toán học được tổ chức tại Amherst College, Amherst, Massachusetts, ngày 5 tháng 4 năm 1991. Do Alexander George biên soạn. Tính toán logic. Philos., Đại học Oxford Báo chí, New York, 1994. ISBN: 0-19-507929-9 MR 96m: 00006 (Người đánh giá: Stewart Shapiro) 00A30 (01A60 03A05 03D20)

[2] Odifreddi, Piergiorgio. Lý thuyết đệ quy cổ điển. Lý thuyết về chức năng và bộ số tự nhiên. Với lời tựa của GE Sacks. Các nghiên cứu về logic và nền tảng của toán học, 125. Công ty xuất bản Bắc Hà Lan, Amsterdam-New York, 1989. xviii + 668 tr. ISBN: 0-444-87295-7 MR 90d: 03072 (Nhà phê bình: Rodney G. Downey ) 03Dxx (03/02 03E15 03E45 03F30 68Q05)

[3] Gandy, Robin. Luận án và nguyên tắc của Giáo hội cho các cơ chế. Hội nghị chuyên đề Kleene. Kỷ yếu của Hội nghị chuyên đề được tổ chức tại Đại học Wisconsin, Madison, Wis., Ngày 18--24 tháng 6 năm 1978. Do Jon Barwise, H. Jerome Keisler và Kenneth Kunen biên soạn. Các nghiên cứu về logic và nền tảng của toán học, 101. Công ty xuất bản Bắc Hà Lan, Amsterdam-New York, 1980. xx + 425 trang. ISBN: 0-444-85345-6 MR 82h: 03036 (Người đánh giá: Douglas Cenzer) 03D10 (03A05)

[4] Máy Turing phổ dụng: một cuộc khảo sát nửa thế kỷ. Phiên bản thứ hai. Được chỉnh sửa bởi Rolf Herken. Computerkultur [Văn hóa máy tính], II. Springer-Verlag, Vienna, 1995. xvi + 611 trang ISBN: 3-211-82637-8 MR 96j: 03005 03-06 (01A60 03D10 03D15 68-06)

Cuộc thảo luận phổ biến nhất về câu hỏi này mà tôi từng đọc là bài tiểu luận của giáo sư MIT Scott Aaronson Ai có thể đặt tên cho số lớn hơn? , trong đó anh khám phá, trong số những thứ khác, ý nghĩa của máy siêu Turing, máy siêu nhân Turing và máy siêu lừa đảo-Toper.

Không, TM không mạnh nhất. Hai ví dụ:

a) Có thể có các máy khác tính kết quả tương tự như TM nhưng nhanh hơn về mặt thuật toán (ví dụ: máy tính lượng tử tính toán các yếu tố chính). "Nhanh hơn" là một loại sức mạnh.

b) TM không thể biểu diễn các số thực chung với độ chính xác hoàn hảo. Nhưng một máy tính tương tự (AC) có thể có thể biểu diễn và thực hiện số học với các số thực với độ chính xác hoàn hảo. Điều này sẽ mạnh hơn bất kỳ TM nào.

Tất nhiên (b) yêu cầu vũ trụ của chúng ta phải có một số tính chất liên tục (trọng lực?) Mà AC có thể sử dụng để biểu diễn các giá trị Real. Có thể mọi tài sản vật chất, bao gồm cả trọng lực, được lượng tử hóa. Nhưng chúng ta có thể suy đoán về máy móc trong một vũ trụ liên tục. Vì vậy, TM không mạnh nhất "theo định nghĩa".

Nếu bạn nhìn vào độ phức tạp tính toán, Turing Machine là máy mạnh nhất - bởi vì nó có bộ nhớ không giới hạn và không có máy thật nào có điều đó. Bất kỳ máy thực sự có thể giải quyết các vấn đề kích thước tùy ý; họ thậm chí không thể đọc được một vấn đề, ít giải quyết nó hơn.

Mặt khác, nếu bạn đã cố gắng triển khai Máy Turing thực sự, giả sử với điều khoản là nó dừng và phát ra âm thanh báo động nếu hết băng, bạn sẽ thấy rằng sẽ cần nhiều bước nữa để thực hiện bất kỳ loại tính toán nào hơn là nói máy thật trong điện thoại giá rẻ, và sẽ chậm hơn rất nhiều trong việc giải quyết các vấn đề thực sự. Bạn cũng sẽ thấy rằng viết một câu trả lời trên một băng không phải là một giao diện người dùng rất tốt. Và bạn sẽ thấy rằng nhiều người sử dụng máy tính không phải để giải quyết vấn đề, mà là để gửi ảnh khỏa thân cho bạn bè của họ và để xem video về mèo, và Turing Machine hoàn toàn không sử dụng.