Các phỏng đoán toán học tương đương với việc dừng máy Turing

Câu hỏi này là về việc liệu mọi định lý toán học có thể được giảm xuống thành câu hỏi liệu một máy Turing có dừng lại hay không. Đặc biệt, tôi quan tâm đến những phỏng đoán hiện chưa được chứng minh.

Ví dụ: Wikipedia nói rằng hiện tại vẫn chưa biết liệu có bất kỳ số hoàn hảo kỳ lạ nào không. Vì không thể quyết định liệu một số đã cho có hoàn hảo hay không, người ta có thể viết một máy Turing kiểm tra lần lượt từng số lẻ và dừng lại nếu nó tìm thấy một số hoàn hảo. (Máy Turing này không nhận bất kỳ đầu vào nào.) Nếu chúng ta biết liệu máy Turing đó có dừng lại hay không, thì chúng ta sẽ biết liệu phỏng đoán đó có đúng hay không và ngược lại.

Tuy nhiên, như một ví dụ khác, những gì về phỏng đoán số nguyên tố sinh đôi ? Không thể quyết định liệu một số đã cho có phải là số nguyên tố đầu tiên trong một cặp sinh đôi hay không, nhưng trong trường hợp này, chúng ta không thể dừng lại khi tìm thấy số đầu tiên, bởi vì câu hỏi là liệu có một số vô hạn hay không. Tôi không rõ liệu có thể tạo ra một máy Turing tạm dừng khi và chỉ khi phỏng đoán số nguyên tố sinh đôi là đúng.

Chúng tôi chắc chắn có thể tạo ra một máy Turing tạm dừng nếu và chỉ khi phỏng đoán số nguyên tố sinh đôi có thể chứng minh được trong số học Peano hoặc một số hệ thống chính thức khác, nhưng đó là một câu hỏi khác, vì nó có thể đúng nhưng không thể chứng minh được trong hệ thống cụ thể mà chúng tôi chọn.

Vì vậy, câu hỏi của tôi là

• Có thể tạo ra một máy Turing tạm dừng khi và chỉ khi phỏng đoán số nguyên tố sinh đôi là đúng? (Và nếu vậy, làm thế nào?)
• Nói chung, có thể tạo ra một máy Turing tạm dừng khi và chỉ khi một số tuyên bố toán học đã cho là đúng? Máy Turing này có thể được xây dựng theo thuật toán từ tuyên bố chính thức không?
• Nếu nói chung là không thể, có cách nào để phân loại các câu lệnh toán học xem liệu chúng có tương đương với việc tạm dừng một máy Turing hay máy Turing có một lời sấm truyền , v.v.? Nếu vậy, sự phân loại này có thể quyết định cho một tuyên bố nhất định?

Câu hỏi của bạn được trả lời bởi hệ thống phân cấp số học . Sự tồn tại của một số hoàn hảo kỳ lạ là một câu lệnh và do đó bạn có thể kiểm tra nó bằng cách sử dụng máy , điều này tạm dừng nếu tuyên bố đó là đúng. Giả thuyết nguyên tố sinh đôi là một câu lệnh , và do đó bạn có thể xây dựng một TM có quyền truy cập vào nhà tiên tri tạm dừng, điều đó làm cho câu lệnh bị sai.$\Sigma_1$$\Sigma_1$$\Pi_2$

Theo nghĩa logic chặt chẽ, bạn luôn có thể tạo một máy Turing tạm dừng câu lệnh iff giữ:$\phi$

1. Nếu giữ, sau đó lấy một máy dừng lại.$\phi$
2. Nếu không giữ, thì hãy lấy một cái máy không dừng lại.$\phi$

Để thấy rằng cấu trúc này là hợp lệ, hãy xem xét hình thức logic của tuyên bố của bạn:

Tập hợp câu lệnh sao cho tồn tại máy Turing tạm dừng trên iff là hợp lệ?$\Phi$$\phi \in \Phi$$\phi$

Ở trên tôi đã chỉ ra rằng các câu lệnh tạo thành một tập hợp như vậy.$\Sigma_1$

Đặt , và đểvới mọi số nguyên . Đối với số nguyên dương , hãy để biểu thị câu lệnh: if a system$f(1)=2$$f(2)=4$$f(n+1)=f(n)!$$n \geq 2$$n$$\Theta_n$

chỉ có nhiều giải pháp trong các số nguyên lớn hơn , sau đó mỗi giải pháp đó thỏa mãn . Chúng tôi phỏng đoán rằng các tuyên bố là đúng.$x_1,\ldots,x_n$$1$$(x_1,\ldots,x_n)$$\min(x_1,\ldots,x_n) \leq f(n)$$\Theta_1,\ldots,\Theta_{16}$

Câu lệnh chứng minh hàm ý: nếu tồn tại số nguyên tố sinh đôi lớn hơn , thì có vô số số nguyên tố sinh đôi, vui lòng xem bài viết này của A. Tyszka ( Trên bộ sao cho vô cực của tương đương với sự tồn tại trong của một phần tử lớn hơn số ngưỡng được tính bằng cách sử dụng định nghĩa của )$\Theta_{16}$$f(16)+3$$W \subseteq \mathbb{N}$$W$$W$$W$

Đó là, giả sử câu lệnh , một truy vấn duy nhất đến quyết định vấn đề nguyên tố sinh đôi.$\Theta_{16}$$0'$