Có một nhiệm vụ có thể giải quyết được trong thời gian đa thức nhưng không thể kiểm chứng được trong thời gian đa thức?

Một đồng nghiệp của tôi và tôi vừa nhấn một số ghi chú của một trong những giáo sư của chúng tôi. Các ghi chú nêu rõ rằng có những nhiệm vụ có thể giải quyết trong thời gian đa thức (thuộc lớp PF) nhưng KHÔNG thể kiểm chứng được trong thời gian đa thức (KHÔNG thuộc lớp NPF).

Để giải thích về các lớp này: Chúng tôi nhận được một số đầu vào X và tạo ra một số đầu ra Y sao cho (X, Y) nằm trong mối quan hệ R đại diện cho nhiệm vụ của chúng tôi. Nếu có thể lấy Y cho X trong thời gian đa thức, thì nhiệm vụ thuộc về lớp PF. Nếu có thể xác minh chứng chỉ Z có độ dài đa thức chứng minh một tuple (X, Y) có quan hệ R trong thời gian đa thức, thì nhiệm vụ thuộc về lớp NPF.

Chúng tôi không nói về các vấn đề quyết định, trong đó câu trả lời chỉ đơn giản là CÓ hoặc KHÔNG (chính thức hơn nếu một số chuỗi thuộc về một số ngôn ngữ). Đối với các vấn đề quyết định, dường như PF là một tập hợp con chính xác của NPF. Tuy nhiên, đối với các nhiệm vụ khác, nó có thể khác.

Bạn có biết một nhiệm vụ có thể được giải quyết trong thời gian đa thức nhưng không được xác minh trong thời gian đa thức?

Điều này chỉ có thể nếu có nhiều đầu ra được chấp nhận cho một đầu vào nhất định. Tức là, khi quan hệ không phải là một hàm vì nó vi phạm tính duy nhất.$R$

Ví dụ, hãy xem xét vấn đề này:

Cho (được biểu thị bằng unary) và TM , tạo ra một TM khác sao cho và (trong đó là viết tắt của mã hóa ( Số Godel) của thành số tự nhiên) M N L ( M ) = L ( N ) # N > n # N $n \in \mathbb{N}$$M$$N$$L(M)=L(N)$$\# N > n$$\# N$$N$

Việc giải quyết điều này là không quan trọng: tiếp tục thêm một vài trạng thái dư thừa vào TM , có thể với một số chuyển đổi giả giữa chúng, cho đến khi mã hóa của nó vượt quá . Đây là một ứng dụng lặp đi lặp lại cơ bản của Bổ đề Padding trên TM. Điều này sẽ yêu cầu paddings, mỗi pad có thể thêm một trạng thái, do đó nó có thể được thực hiện trong thời gian đa thức.n $M$$n$$n$

Mặt khác, với không thể kiểm tra xem có phải là đầu ra chính xác cho đầu vào . Thật vậy, việc kiểm tra là không thể giải quyết được (áp dụng định lý Rice) và ràng buộc chỉ loại bỏ rất nhiều s khỏi những điều đó. Vì chúng tôi loại bỏ một lượng phần tử hữu hạn khỏi một vấn đề không thể giải quyết được, chúng tôi vẫn gặp phải một vấn đề không thể giải quyết được.N n , M L ( M ) = L ( N ) # N > n $n,M,N$$N$$n,M$$L(M)=L(N)$$\#N > n$$N$

Bạn cũng có thể thay thế thuộc tính không thể xác định để có được các biến thể vẫn có thể tính toán được nhưng NP cứng / hoàn chỉnh. Ví dụ, cho (trong unary), việc tính một đồ thị có -clique bên trong là chuyện nhỏ . Nhưng với thật khó để kiểm tra xem -clique có tồn tại hay không.n G n n , G $L(M)=L(N)$$n$$G$$n$$n,G$$n$

Đây chỉ là một chi tiết của câu đầu tiên trong câu trả lời của @ chi, vì tôi không thấy nó rõ ràng.

Ý tưởng là, nếu bạn có một thuật toán tìm câu trả lời cho một số vấn đề trong thời gian đa thức, thì có hai khả năng:

1. Trước đây, bạn đã chứng minh (về mặt toán học) rằng đầu ra của thuật toán là một giải pháp cho vấn đề, trong trường hợp đó, chính các bước của thuật toán tạo thành bằng chứng chính xác.

2. Bạn có một thuật toán khác để kiểm tra xem đầu ra có thực sự là một giải pháp hay không, trong trường hợp đó bạn phải chạy thuật toán này (nếu không bạn sẽ rơi vào trường hợp # 1), ngụ ý rằng bạn đang thực hiện nó trong thời gian đa thức.

Do đó, không thể có vấn đề như vậy.