Bằng chứng đơn giản cho tính đầy đủ NP của Bộ thống trị cạnh

Trong biểu đồ, tập hợp thống trị cạnh là tập hợp con D của các cạnh sao cho bất kỳ cạnh nào trong biểu đồ đều nằm trong D hoặc chia sẻ điểm cuối với cạnh trong D. Vấn đề Đặt tối thiểu cạnh thống trị là tìm một tập hợp thống trị cạnh của cardinality tối thiểu. Phiên bản quyết định của vấn đề này được biết là NP-đầy đủ, nhưng tôi muốn hỏi liệu một bằng chứng tương đối đơn giản về thực tế này đã được biết chưa.

Bằng chứng duy nhất tôi tìm thấy trong các tài liệu là trong bài báo lần đầu tiên giải quyết vấn đề này, bởi Gavril và Yannakakis . Tuy nhiên, bằng chứng trên sử dụng thực tế rằng Vertex Cover là NP hoàn chỉnh cho các đồ thị khối phẳng và thực tế là các đồ thị lưỡng cực có độ d có thể được tô màu cạnh. Tôi muốn một bằng chứng đơn giản hơn, nó sẽ chỉ sử dụng các sự kiện thường được biết đến với những sinh viên đại học đã tham gia một khóa học thuật toán.

Tôi giả sử rằng bạn chỉ muốn hiển thị vấn đề tập hợp cạnh tối thiểu là NP-hoàn chỉnh cho biểu đồ chung (nghĩa là bạn không quan tâm đến những đặc tính nào mà biểu đồ được xây dựng có).

Trong trường hợp bạn bỏ lỡ nó, có thể giảm đơn giản hơn 3-SAT trong cùng một bài viết (xem Định lý 2). Việc giảm giả định không có thêm kiến ​​thức "chuyên gia". Bạn có thể làm cho bản trình bày thậm chí dễ dàng hơn một chút bằng cách bỏ qua xác minh tính lưỡng cực và giới hạn mức độ tối đa của biểu đồ kết quả.

Có một sự giảm đơn giản về độ cứng xấp xỉ của giấy đối với các vấn đề về tập hợp cạnh (Chlebík và Chlebíková, Tạp chí Tối ưu hóa kết hợp 11 (3): 279 Lên290, 2006).

Việc giảm là thêm một đỉnh chung được kết nối với tất cả các nút và thay thế mọi cạnh bằng một $P_5$với một cạnh độc lập được thêm vào đỉnh giữa. Có một cạnh thống trị tập kích thước$|E|+k$ trong biểu đồ mới, có một đỉnh có kích thước $k$trong bản gốc. Bạn sẽ cần ít nhất một cạnh cho mỗi tiện ích; phần còn lại là cổ điển. (Trên thực tế tôi nghĩ rằng bạn không cần đỉnh phổ quát)

Chúng tôi sẽ giảm Vertex Cover xuống Edge Dominating Set và hoàn thành bằng chứng. Cho một ví dụ của phiên bản quyết định của vấn đề bìa đỉnh$I(G,k)$, chúng tôi xây dựng $G'$ bằng cách thêm $nk+k$ các cạnh mới để $G$, Ở đâu $n$ là số đỉnh trong $G$:

• thêm vào $k$ đỉnh mới;
• thêm một cạnh giữa mỗi đỉnh mới này và mỗi đỉnh trong $G$, Tổng cộng $nk$ các cạnh, được gọi là các cạnh trung gian;
• thêm một cạnh mặt dây chuyền cho mỗi đỉnh mới, hoàn toàn $k$ các cạnh.

Quan sát rằng các cạnh thống trị thiết lập trong $G'$ chứa ít nhất $k$các cạnh. Cũng quan sát rằng bất kỳ bộ kích thước cạnh thống trị$k$ trong $G'$chỉ có thể chứa các cạnh trung gian. Sau đó, chúng tôi tuyên bố rằng$G$ có nắp đậy kích thước $k$ iff $G'$ có một cạnh thống trị tập kích thước $k$.