Tính toán hiệu quả số nguyên nhỏ nhất với n ước số

Để giải quyết vấn đề này, trước tiên tôi đã quan sát thấy rằng

$$\phi(p_1^{e_1} \space p_2^{e_2} \cdots \space p_k^{e_k}) = (e_1 + 1)(e_2 + 1)\cdots(e_k +1)$$

Trong đó là số ước (không nhất thiết là số nguyên tố) của . Nếu là số nguyên nhỏ nhất sao cho , thì$\phi(m)$$m$$m$$\phi(m) = n$

$$\phi(m) = n$$ $$(e_1 + 1)(e_2 + 1)\cdots(e_k +1) = n$$

Bây giờ chúng ta phải chọn sao cho là tối thiểu. Các lựa chọn cho là tầm thường - chúng chỉ là các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần.$e_i$$\prod_{i} p_i^{e_i}$$p$

Tuy nhiên, suy nghĩ đầu tiên của tôi khi chọn là không chính xác. Tôi nghĩ bạn có thể chỉ cần yếu tố , sắp xếp các yếu tố theo thứ tự giảm dần và trừ đi 1. Hầu hết thời gian này hoạt động tốt, ví dụ: số nguyên nhỏ nhất có ước là:$e_i$$n$$n = 15$

$$15 = 5 \cdot 3$$ $$15 = (4 + 1)(2 + 1)$$ $$m = 2^4 3^2 = 144$$

Nhưng điều này không đúng với :$n = 16$

16 = ( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) m = 2 1 3 1 5 1 7 1 =

$$16 = 2 \cdot 2\cdot 2 \cdot 2$$ $$16 = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)$$ $$m = 2^1 3^1 5^1 7^1 = 210$$

Trong khi đó, câu trả lời đúng là:

m = 2 3 3 1 5 1 =

$$16 = (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1)$$ $$m = 2^3 3^1 5^1 = 120$$

Vì vậy, rõ ràng đôi khi chúng ta cần hợp nhất các yếu tố. Trong trường hợp này vì . Nhưng tôi không thấy chính xác một chiến lược hợp nhất trực tiếp và rõ ràng. Ví dụ, người ta có thể nghĩ rằng chúng ta phải luôn hợp nhất thành sức mạnh, nhưng điều này không đúng:$7^1 > 2^2$$2$

m = 2 96 3 1 5 1 7 1 11 1 > 2 96 3 3 5 1 7

$$1552 = (96 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)$$ $$m = 2^{96} 3^1 5^1 7^1 11^1 > 2^{96} 3^3 5^1 7^1$$

Tôi không thể nghĩ ngay đến một ví dụ, nhưng bản năng của tôi nói rằng một số cách tiếp cận tham lam có thể thất bại nếu họ hợp nhất các quyền hạn trước.

Có một chiến lược tối ưu đơn giản để hợp nhất các quyền hạn này để có câu trả lời chính xác?

---

Phụ lục. Một thuật toán tham lam kiểm tra mọi hợp nhất có thể và thực hiện tốt nhất trên cơ sở hợp nhất theo hợp nhất, không thành công trên . Chuỗi hợp nhất từng cái một là:$n = 3072$

$$2^2 3^1 5^1 7^1 11^1 13^1 17^1 19^1 23^1 29^1 31^1$$

$$2^3 3^2 5^1 7^1 11^1 13^1 17^1 19^1 23^1 29^1$$

$$2^5 3^3 5^1 7^1 11^1 13^1 17^1 19^1 23^1$$

Tuy nhiên, giải pháp tối ưu là:

$$2^7 3^3 5^2 7^1 11^1 13^1 17^1 19^1$$

Đây là một giải pháp, dựa trên ý kiến ​​của tôi ở trên. Tôi không tuyên bố điều này là tối ưu.

Ý tưởng là xem xét , mà chúng tôi định nghĩa là "số nguyên dương nhỏ nhất với chính xác ước và các thừa số nguyên tố riêng biệt". Chúng tôi thực hiện các quan sát dễ dàng:n $T(n,m)$$n$$m$

$$\begin{align} T(n, 1) &= 2^{n-1}\\ T(2^m, m) &= p_1p_2\cdots p_m \end{align}$$

Và chúng tôi cũng có sự tái phát:

$$\begin{equation} T(n,m) = \min_{d|n} [T\left(\frac{n}{d}, m-1\right)\cdot p_m^{d-1}] \end{equation}$$

Cuối cùng, số lượng bạn đang tìm kiếm là

$$\begin{equation} \min_{1\le i\le\lceil\log(n)\rceil} T(n, i) \end{equation}$$

Cuối cùng, đây là một số mã Python, đồng ý với tất cả các số bạn đã đưa ra ở trên. Lưu ý rằng nó hoạt động với các logarit để giữ cho các số nhỏ hơn: vì vậy số nguyên thực tế bạn tìm kiếm là round(2**smallest(n)).

import functools
import itertools
import math

# All primes less than 100.
PRIMES = [
  2, 3, 5, 7, 11,
  13, 17, 19, 23, 29,
  31, 37, 41, 43, 47,
  53, 59, 61, 67, 71,
  73, 79, 83, 89, 97,
]

LOG_PRIMES = [math.log2(p) for p in PRIMES]

def smallest(n):
  max_factors = math.ceil(math.log2(n))
  min_so_far = float('Infinity')
  factors = factorize(n)
  memo = {}
  for i in range(1, max_factors+1):
    t = T(n,i, factors, memo)
    if 0.0 < t < min_so_far:
      min_so_far = t
  return min_so_far

def T(n, m, factors=None, memo=None):
  if memo is None:
    memo = {}
  if n < 2 or m < 1:
    return 0
  elif m == 1:
    # Everything on the smallest prime.
    return (n-1) * LOG_PRIMES[0]
  elif n < 2**m:
    return 0
  elif n == 2**m:
    # Product of first m primes, in log.
    return sum(LOG_PRIMES[:m])
  elif (n,m) in memo:
    return memo[(n,m)]

  if factors is None:
    factors = factorize(n)
  if len(factors) < m:
    return 0

  smallest = float('Infinity')  
  for factor_list in powerset(factors):
    divisor = product(factor_list)
    first = T(divisor, m-1, factor_list, memo)
    # No such product.
    if first < 1.0:
      continue
    second = (n/divisor - 1) * LOG_PRIMES[m-1]
    total = first + second
    if total < smallest:
      smallest = total

  memo[(n,m)] = smallest
  return smallest

def product(nums):
  return functools.reduce(lambda x,y: x*y, nums, 1)

def factorize(n):
  prime_factors = []
  for p in PRIMES:
    while n%p == 0:
      n //= p
      prime_factors.append(p)
    if n == 1:
      break
  return prime_factors

def powerset(lst):
  # No empty set.
  return itertools.chain.from_iterable(itertools.combinations(lst, r) 
                                       for r in range(1, len(lst)+1))

Các ứng cử viên có thể cho "số nguyên nhỏ nhất với n ước" là các số nguyên có dạng trong đó a ≥ b ≥ c ... và (a + 1) (b + 1) (c + 1) ... = n.$2^a·3^b·5^c...$

Vì vậy, bạn cần tìm mọi cách để biểu thị n là tích của số nguyên ≥ 2 theo thứ tự không tăng dần, và tính toán và kiểm tra các ứng cử viên tương ứng. Ví dụ: khi n = 16, 16 = 8 · 2 = 4 · 4 = 4 · 2 · 2 = 2 · 2 · 2 · 2, vì vậy khả năng là , , , và nhỏ nhất là .$2^7·3$$2^3·3^3$$2^3·3·5$$2·3·5·7$$2^3·3·5 = 120$

Nếu n là tích của hai số nguyên tố p · q, p ≥ q, thì các ứng cử viên duy nhất là và , và số sau luôn nhỏ hơn .$2^{pq-1}$$2^{p-1}·3^{q-1}$

Ví dụ, bạn có thể tìm ra một số điều kiện khi có thể có một yếu tố , bằng cách kiểm tra xem đối với một số số nguyên tố x không phải là một yếu tố. Trong ví dụ n = 16, có một yếu tố vì .$2^{ab-1}$$2^{ab-1} > 2^{a-1}·x^{b-1}$$2^3$$2^3 < 2·7$