Đồ thị đơn cực có thể có bao nhiêu cạnh?

19

Biểu đồ đơn cực là một biểu đồ có hướng sao cho có nhiều nhất một đường dẫn đơn giản từ bất kỳ một đỉnh đến bất kỳ đỉnh khác.

Đồ thị đơn cực có thể có chu kỳ. Ví dụ, một danh sách liên kết đôi (không phải là một vòng tròn!) Là một biểu đồ đơn cực; nếu danh sách có phần tử, biểu đồ có chu kỳ có độ dài 2, với tổng số . $n$ $n-1$ $2(n-1)$

Số cạnh tối đa trong đồ thị đơn cực có đỉnh là bao nhiêu? Một ràng buộc tiệm cận sẽ làm (ví dụ hoặc ). $n$ $O(n)$ $\Theta(n^2)$

_{Lấy cảm hứng từ Tìm những con đường ngắn nhất trong một đồ thị đơn sắc ; trong bằng chứng của mình , ban đầu tôi muốn khẳng định rằng số cạnh là nhưng sau đó nhận ra rằng giới hạn số chu kỳ là đủ. $O(n)$}

graphs combinatorics

— Gilles 'SO- ngừng là ác'
nguồn

Câu hỏi hay. Chúng ta nên cố gắng cải thiện giới hạn dưới của bạn hoặc giới hạn trên của tôi :).

— RB

12

Một đồ thị đơn cực có thể có các cạnh . Có một loại đồ thị nổi tiếng là không phổ biến và có cạnh. $\Theta(n^2)$ $n^2/4$

Hãy xem xét một biểu đồ lưỡng cực hoàn chỉnh, với các cạnh được định hướng . Biểu đồ này là đơn cực và không có chu kỳ: tất cả các đường dẫn của nó có độ dài . Nó có đỉnh và cạnh. $\forall (i,j) \in [1,m]^2, a_i \rightarrow b_j$ $1$ $2m$ $m^2$

_{(Câu hỏi tiếp theo: tỷ lệ này có tối đa không? Có lẽ là không, nhưng tôi không có ví dụ khác. Ví dụ này là tối đa theo nghĩa là bất kỳ một cạnh nào bạn thêm vào giữa các nút hiện tại sẽ phá vỡ thuộc tính đơn cực.)}

— Gilles 'SO- ngừng là ác'
nguồn

"Bất kỳ một cạnh nào mà bạn thêm giữa các nút hiện có sẽ phá vỡ thuộc tính đơn cực" Làm thế nào để thêm cạnh phá vỡ thuộc tính?

b_{1} \to a_{1}

$b_1 \rightarrow a_1$

— mitchus

@mitchus a_2

a_{2} \to b_{1} \to a_{1} \to b_{2}

$a_2 \rightarrow b_1 \rightarrow a_1 \rightarrow b_2$

— Gilles 'SO- ngừng trở thành ác quỷ'

1

Tôi đoán rằng tâm trí của tôi bằng cách nào đó đã vô cảm vào ngày hôm đó :) Về phần tối đa, tỷ lệ có thể lên tới 1/4 đối với lớn , nhưng đối với thì danh sách liên kết đôi có nhiều cạnh hơn .

n

$n$

n \in {2, 3, 4, 5, 6}

$n \in \{2,3,4,5,6\}$

n^{2} / 4

$n^2/4$

— mitchus

0

Tôi không biết nếu có một đồ thị đơn cực trên nhiều cạnh , nhưng đây là một đối số cho thấy không có nhiều hơn cạnh: $\frac{n^2}{4}$ $\frac{n^2}{2}+3$

Giả sử bằng mâu thuẫn rằng là một đồ thị đơn cực sao cho . $G=(V,E)$ $|E|\geq \frac{n^2}{2}+3$

Theo nguyên tắc pigeonhole, tồn tại sao cho $v\in V$

d_{in} (v) \geq \frac{n}{2} + 1

$d_{\text{in}}(v)\geq \frac{n}{2}+1$

Suy ra $U=\{u\in V\mid (u,v)\in E\}$

Lưu ý rằng nếu có một đỉnh sao cho $x\in V\setminus \{v\}$

\exists u_{1} \neq u_{2} \in U : (x, u_{1}), (x, u_{2}) \in E

$\exists u_1\neq u_2\in U:(x,u_1),(x,u_2)\in E$

Sau đó, biểu đồ sẽ không đơn phương (vì và đều là các đường dẫn hợp lệ). $(x\to u_1\to v)$ $(x\to u_2\to v)$

Điều này có nghĩa là (thêm các cạnh từ ): $\{v\}\times U$

| E \cap (V \times U) | \leq 2 | U |

$|E\cap (V\times U)|\leq2|U|$

Vì vậy, mức độ trung bình của các đỉnh của nhiều nhất là 2, do đó: $U$

| E | = | E \cap (V \times U) | + | E \cap (V \times (V ∖ U)) |

$|E|=|E\cap (V\times U)|+|E\cap (V\times (V\setminus U))|$

\leq 2 | U | + n | V ∖ U | \leq 2 (\frac{n}{2} + 1) + n (\frac{n}{2} - 1) < \frac{n^{2}}{2} + 3

$\leq 2|U|+n|V\setminus U|\leq 2(\frac{n}{2}+1)+n(\frac{n}{2}-1)<\frac{n^2}{2}+3$

$\square$

— RB
nguồn