Mỗi đồ thị vô hướng đơn giản có nhiều hơn cạnh được kết nối

Nếu một đồ thị có đỉnh có nhiều hơn thì nó được kết nối.$n$$\frac{(n-1)(n-2)}{2}$

Tôi hơi bối rối về câu hỏi này, vì tôi luôn có thể chứng minh rằng để một biểu đồ được kết nối, bạn cần nhiều hơn cạnh.$|E|>n-1$

Tôi không chắc điều gì làm phiền bạn nhưng như tôi thấy, bạn bối rối về hai sự thật sau đây

1. Nếu một đồ thị được kết nối thì$e \geq n-1.$

2. Nếu một đồ thị có nhiều hơn thì nó được kết nối.$e > \frac{(n-1)(n-2)}{2}$

Lưu ý rằng các hàm ý trong 1 và 2 là hai hướng ngược nhau.

Để có bằng chứng về 2. bạn có thể kiểm tra liên kết này .

Tôi nghĩ vấn đề của bạn có thể là chứng minh rằng bạn không thể xây dựng một đồ thị vô hướng với các cạnh không được kết nối. Bạn đang nghĩ về nó một cách sai lầm. Công thức về số lượng cạnh bạn có thể sử dụng để kết nối tất cả các đỉnh. E=n-$\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}$$E = n - 1$

Hãy tưởng tượng bạn là một kẻ thù đang cố gắng thiết kế một hệ thống đường cao tốc khủng khiếp để một thị trấn bị ngắt kết nối. Cho dù bạn sử dụng đường của mình không hiệu quả đến đâu, bạn vẫn sẽ phải kết nối tất cả các thị trấn nếu có quá nhiều đường.

Hãy xem xét thiết kế tồi tệ nhất có thể là gì, ví dụ, thiết kế sử dụng càng nhiều đường càng tốt nhưng vẫn khiến một thị trấn bị ngắt kết nối. Nó có bao nhiêu cạnh? Điều gì xảy ra khi bạn thêm một cạnh vào đó?

1. như bạn đã đề cập, chúng tôi có:

$G\text{ is connected} \Rightarrow |V|-1 \le |E|$

Nhưng hướng khác là không đúng, tức là:

$G\text{ is connected} \Leftrightarrow |V|-1 \le |E|$

là tuyên bố sai.

Vì vậy, bạn không thể sử dụng nó cho lý do hơn nữa. Ví dụ về bộ đếm mẫu là biểu đồ này ( là một biểu đồ hoàn chỉnh trên các đỉnh và có nghĩa là tách rời các liên kết của biểu đồ): t $K_t$$t$$\cup$

$G = K_{n-1} \cup K_1$

$G$ có cạnh và nút và cho .$n-1\choose 2$$n$${n-1\choose 2} > n-1$$n>4$

2. Mặt khác, để chứng minh rằng:

${|V|-1 \choose 2} < |E| \Rightarrow G\text{ is connected}$

Chúng ta có thể làm như sau:

Giả sử không, thì tách rời hai liên kết đồ thị , với , nếu chúng ta kết nối tất cả các đỉnh của với nhau để tạo đồ thị , thì (vì có nhiều nhất là hoàn thành các cạnh đồ thị) nhưng:$G$$G=G_1\cup G_2$$|G_1| = k, |G_2| = n-k, 0<k<n$$G_1,G_2$$G"$$|E_{G"}|\le {n \choose 2}$$G"$

${n-1 \choose 2} + 1 + k\cdot (n-k) \le |E_{G"}| \le {n \choose 2} \Rightarrow$

$(k-1)(n-k-1) + 1 \le 0\Rightarrow$ Mâu thuẫn bên phải với .$0<k<n$

Đồ thị G có n nút n = (n-1) +1 Một đồ thị bị ngắt kết nối nên có ít nhất một đỉnh bị cô lập. Đồ thị có một đỉnh bị cô lập có tối đa các cạnh C (n-1,2).

vì vậy mọi đồ thị được kết nối nên có nhiều hơn các cạnh C (n-1,2).