Làm thế nào là thuật toán sắp xếp này (n³) chứ không phải Θ (n²), trường hợp xấu nhất?

Tôi mới bắt đầu tham gia một khóa học về Cấu trúc dữ liệu và thuật toán và trợ lý giảng dạy của tôi đã cho chúng tôi mã giả sau đây để sắp xếp một mảng các số nguyên:

void F3() {
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (A[i-1] > A[i]) {
            swap(i-1, i)
            i = 0
        }
    }
}

Có thể không rõ ràng, nhưng ở đây $n$ là kích thước của mảng Amà chúng ta đang cố gắng sắp xếp.

Trong mọi trường hợp, trợ lý giảng dạy đã giải thích với lớp rằng thuật toán này đang trong thời gian $\Theta(n^3)$ (trường hợp xấu nhất, tôi tin), nhưng cho dù tôi có trải qua bao nhiêu lần với một mảng được sắp xếp ngược lại, dường như với tôi rằng nó phải là $\Theta(n^2)$ và không $\Theta(n^3)$ .

Ai đó có thể giải thích cho tôi tại sao đây là chứ không phải ?$Θ(n^3)$$Θ(n^2)$

Thuật toán này có thể được viết lại như thế này

1. Quét Acho đến khi bạn tìm thấy một sự đảo ngược .
2. Nếu bạn tìm thấy một, trao đổi và bắt đầu lại.
3. Nếu không có, chấm dứt.

Bây giờ có thể có tối đa và bạn cần quét thời gian tuyến tính để tìm từng - vì vậy thời gian chạy trong trường hợp xấu nhất là . Một ví dụ giảng dạy tuyệt vời khi nó đi lên theo cách tiếp cận phù hợp với nhiều mô hình!$\binom{n}{2} \in \Theta(n^2)$$\Theta(n^3)$

Lưu ý: Người ta phải cẩn thận một chút: một số nghịch đảo xuất hiện sớm, một số muộn, do đó, sẽ không có gì là tầm thường khi các chi phí cộng lại như đã yêu cầu (đối với giới hạn dưới). Bạn cũng cần phải quan sát rằng các giao dịch hoán đổi không bao giờ đưa ra các nghịch đảo mới . Một phân tích chi tiết hơn về trường hợp với mảng được sắp xếp ngược lại sau đó sẽ mang lại một cái gì đó giống như trường hợp bậc hai của công thức Gauss '.

Như @ gnasher729 nhận xét một cách khéo léo, thật dễ dàng để thấy thời gian chạy trong trường hợp xấu nhất là bằng cách phân tích thời gian chạy khi sắp xếp đầu vào (mặc dù đầu vào này có lẽ không phải là trường hợp xấu nhất).$\Omega(n^3)$$[1, 2, \dots, n, 2n, 2n-1, \dots, n+1]$

Hãy cẩn thận: đừng cho rằng một mảng được sắp xếp ngược sẽ nhất thiết phải là đầu vào trong trường hợp xấu nhất cho tất cả các thuật toán sắp xếp. Điều đó phụ thuộc vào thuật toán. Có một số thuật toán sắp xếp trong đó một mảng được sắp xếp ngược không phải là trường hợp xấu nhất và thậm chí có thể gần với trường hợp tốt nhất.

Một cách khác để suy nghĩ về điều này là giá trị tối đa itrở thành trước khi nó được đặt lại. Điều này, như hóa ra, làm cho nó đơn giản hơn để suy luận về cách thứ tự sắp xếp trước Aảnh hưởng đến thời gian chạy của thuật toán.

Cụ thể, quan sát rằng khi iđặt giá trị tối đa mới của nó, hãy gọi nó là N, mảng [A[0], ..., A[N-1]]được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Vậy điều gì xảy ra khi chúng ta thêm phần tử A[N]vào hỗn hợp?

Toán học:

Vâng, giả sử nó phù hợp ở vị trí . Sau đó, chúng ta cần các vòng lặp (mà tôi sẽ biểu thị ) để di chuyển nó đến các lần lặp , để di chuyển nó đến vị trí và nói chung:$p_N$$N$$\text{steps}$$N-1$$N + (N-1)$$N-2$

Đối với một mảng được sắp xếp ngẫu nhiên, lấy phân phối đồng đều trên cho mỗi , với:$p_N$$\{0, 1,\dots, N\}$$N$

tổng có thể được hiển thị bằng công thức Faulhaber hoặc liên kết Wolfram Alpha ở phía dưới.

Đối với một mảng được sắp xếp ngược, cho tất cả và chúng tôi nhận được:$p_N=0$$N$

chính xác, mất nhiều thời gian hơn bất kỳ giá trị nào khác của .$p_N$

Đối với một mảng đã được sắp xếp, và , với các điều khoản bậc thấp trở nên có liên quan.$p_N = N$$\text{steps}_N(p_N) = 0$

Tổng thời gian:

Để có được tổng số thời gian, chúng tôi tổng hợp các bước trên tất cả các . (Nếu chúng tôi cực kỳ cẩn thận, chúng tôi sẽ tổng hợp các giao dịch hoán đổi cũng như các vòng lặp và quan tâm đến các điều kiện bắt đầu và kết thúc, nhưng thật dễ dàng để thấy rằng chúng không góp phần vào sự phức tạp trong hầu hết các trường hợp) .$N$

Và một lần nữa, sử dụng tính tuyến tính của kỳ vọng và Công thức của Faulhaber's:

Tất nhiên, nếu vì một lý do nào đó không phải là (ví dụ: phân phối mảng mà chúng tôi đang xem đã rất gần với việc sắp xếp), thì điều này không phải lúc nào cũng cần là trường hợp. Nhưng phải mất các bản phân phối rất cụ thể trên để đạt được điều này!$\text{steps}_N(p_N)$$\Theta(N^2)$$p_N$

Đọc có liên quan:

• https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+a(a%2B1)+from+a%3D1+to+a%3DN
• https://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%27s_formula - Công thức của Faulhaber's

Tuyên bố miễn trừ trách nhiệm:

Đây không phải là một bằng chứng (có vẻ như một số người nghĩ rằng tôi đã đăng nó như thể nó là). Đây chỉ là một thử nghiệm nhỏ mà OP có thể thực hiện để giải quyết những nghi ngờ của mình về nhiệm vụ:

bất kể bao nhiêu lần tôi đi qua nó với một mảng được sắp xếp ngược lại, đối với tôi nó dường như là chứ không phải .$Θ(n^2)$$Θ(n^3)$

Với một mã đơn giản như vậy, sự khác biệt giữa và không khó để nhận ra và trong nhiều trường hợp thực tế, đây là một cách tiếp cận hữu ích để kiểm tra linh cảm hoặc điều chỉnh kỳ vọng.$\Theta(n^2)$$\Theta(n^3)$

@Raphael đã trả lời câu hỏi của bạn đã có, nhưng chỉ cần cho đá, phù hợp của chương trình này ra để sử dụng kịch bản gnuplot này báo cáo giá trị số mũ của và và sản xuất các lô sau ( đầu tiên là quy mô bình thường và thứ hai là quy mô log-log):$f(x) = a\cdot x^b + c\cdot x$$2.99796166833222$$2.99223727692339$

Tôi hy vọng điều này sẽ giúp$\ddot\smile$

Giả sử bạn có một mảng.

array a[10] = {10,8,9,6,7,4,5,2,3,0,1}

Thuật toán của bạn thực hiện như sau

Scan(1) - Swap (10,8) => {8,10,9,6,7,4,5,2,3,0,1}  //keep looking at "10"
Scan(2) - Swap (10,9) => {8,9,10,6,7,4,5,2,3,0,1}
...
Scan(10) - Swap(10,1) => {8,9,6,7,4,5,2,3,0,1,10}

Về cơ bản, nó di chuyển đến cuối mảng, phần tử cao nhất và khi thực hiện nó sẽ bắt đầu quá mức ở mỗi lần quét một cách hiệu quả khi O(n^2)di chuyển .. chỉ cho một phần tử đó. Tuy nhiên, có n yếu tố nên chúng ta sẽ phải lặp lại nlần này . Đây không phải là một bằng chứng chính thức, nhưng nó giúp hiểu theo cách "không phù hợp" tại sao thời gian chạy là O(n^3).

Logic dường như sắp xếp các phần tử trong mảng theo thứ tự tăng dần.

Giả sử số nhỏ nhất nằm ở cuối mảng (a [n]). Để nó đến đúng vị trí của nó - các thao tác (n + (n-1) + (n-2) + ... 3 + 2 + 1) là bắt buộc. = O (n2).

Đối với một phần tử duy nhất trong mảng O (n2) ops là bắt buộc. Vì vậy, với n eements, nó là O (n3).