Hai hàm , sao cho nhưng

7

Tiêu đề của câu hỏi thể hiện những gì tôi đang tìm kiếm - điều này là để giúp tôi hiểu rõ hơn các điều kiện tiên quyết cho Định lý phân cấp thời gian không xác định

Chẳng hạn, cuốn sách Arora-Barak giải thích định lý bằng cách sử dụng và - nhưng, tôi cũng có thể thấy rằng ! Vì vậy, tôi đang cố gắng hiểu rõ hơn thời gian "thêm" nào được đảm bảo bằng cách chỉ định rằng để trở thành một tập hợp con đúng của , , không phải ... $g(n) = n$ $G(n) = n^{1.5}$ $n \in o(n^{1.5})$ $\text{NTIME}(g(n))$ $\text{NTIME}(G(n))$ $g(n + 1) = o(G(n))$ $g(n) = o(G(n))$

— TCSGrad
nguồn

12

Một ví dụ là , . $g(n) = 2^{2^{n-1}}$ $G(n) =2^{2^{n}}$

Chúng ta có , vì vậy . $g(n) = \sqrt{G(n)}$ $g(n) = o(G(n))$

Trong khi đó, tất nhiên, nên , vì vậy $g(n+1) = G(n)$ $g(n+1) = \Theta(G(n))$ $g(n+1)\neq o(G(n))$

Tại sao nhân đôi số mũ? Khi chúng ta thêm một vào , chúng ta muốn hiệu ứng lớn hơn một hằng số nhân (vì ký hiệu lớn ẩn số nhân, và do đó hằng số phụ gia). Chúng ta hãy làm cho nó đơn giản và nói rằng chúng ta muốn thêm 1 đến để có hiệu ứng đa thức đối với giá trị của . Khi bạn thêm một hằng số vào : $n$ $O$ $n$ $g(n)$ $n$

một hàm tuyến tính được tăng bởi hằng số phụ gia
một hàm số mũ được tăng lên bởi một hằng số nhân
một hàm số mũ tăng gấp đôi đa thức (bằng lũy thừa hai trong ví dụ của chúng tôi, do đó ) $g(n)^2 = G(n)$

Chúng ta cũng có thể có ,, v.v., trong đó . Nói chung, chúng ta có thể cho , trong đó và là không tăng. Sau đó chúng tôi có: $g(n) = n^n$ $g(n) = n!$ $G(n) = g(n-1)$ $g(n) = f(n)^n$ $f(n) = \omega(1)$ $f$

lim_{n \to \infty} \frac{g (n)}{G (n)} = lim_{n \to \infty} \frac{g (n)}{g (n + 1)} = lim_{n \to \infty} \frac{f (n)^{n}}{f (n + 1)^{n + 1}} \leq lim_{n \to \infty} \frac{f (n)^{n}}{f (n)^{n + 1}} = lim_{n \to \infty} \frac{1}{f (n)} = 0

$\lim_{n\to\infty} \frac{g(n)}{G(n)} = \lim_{n\to\infty} \frac{g(n)}{g(n+1)} = \lim_{n\to\infty}\frac{f(n)^n}{f(n+1)^{n+1}} \leq \lim_{n\to\infty}\frac{f(n)^n}{f(n)^{n+1}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{f(n)} = 0$

Vì vậy, chúng tôi đã hiển thị bằng cách sử dụng định nghĩa giới hạn (bước cuối cùng là vì ). Do đó, các hàm như và thậm chí trong đó là hàm Ackermann nghịch đảo, cũng sẽ thực hiện thủ thuật cho chúng ta. $g(n) = o(G(n))$ $f(n) = \omega(1)$ $(\log\log n)^n$ $\alpha(n)^n$ $\alpha$

— SamM
nguồn

Có ai biết nhỏ hơn hay đơn giản hơn , không sử dụng phác thảo này nhưng phù hợp với yêu cầu của OP không?

g

$g$

G

$G$

— SamM

1

g (n) = 1

$g(n)=1$ cho lẻ và cho chẵn . .

n

$n$

g (n) = n

$g(n)=n$

n

$n$

G (n) = n g (n)

$G(n)=ng(n)$

— John L.

8

Lấyvà. $g(n)= n!$ $G(n) = (n+1)!$

— Aryabhata
nguồn