Thông tin chi tiết về bài kiểm tra BaillieTHER PSW

Rõ ràng là Mathicala sử dụng bài kiểm tra Baillieifer PSW cho chức năng PrimeQ của nó (kiểm tra tính nguyên thủy), và khi tôi đọc trong tài liệu Mathicala , nó bắt đầu bằng phép thử, sau đó là cơ sở 2 và 3 Miller Giả Rabin, và sau đó là bài kiểm tra giả của Lucas. Câu hỏi của tôi là:

Chúng ta có thể loại bỏ cơ sở 2 và 3 và chỉ sử dụng một cơ sở ngẫu nhiên không?

Ngoài ra, có ai có thể đề xuất một tài liệu tham khảo tốt về bài kiểm tra nguyên thủy này ngoài Wikipedia không?

Lợi thế của việc sử dụng cơ sở 2 là chúng tôi biết tất cả các cơ sở 2 của psp lên đến . Người ta đã xác minh rằng không ai trong số các psp (2) này vượt qua bài kiểm tra Lucas khi các tham số được chọn phù hợp với bất kỳ phương pháp nào trong bài báo Baillie / Wagstaff.$2^{64}$$P, Q$

Nếu bạn chọn một cơ sở ngẫu nhiên, có thể có một số hỗn hợp vượt qua cả hai bài kiểm tra Fermat và Lucas. Ví dụ, là một cơ sở psp mạnh 76, và cũng là một giả hành Lucas.$n$$n = 5777$

Nhân tiện, nếu bạn thực hiện kiểm tra Lucas, tôi cũng khuyên bạn nên thêm kiểm tra sau, hầu như miễn phí khi bạn đạt đến cuối tính toán Lucas. Nếu là số nguyên tố lẻ và trong đó , (và, như thường lệ, (ký hiệu Jacobi ), sau đó . Nếu và được chọn theo phương pháp (xem Baillie / Wagstaff), thì 913 là số hỗn hợp lẻ duy nhất lên tới 25 tỷ cho mà sự phù hợp này nắm giữ. (Bài viết B / W đưa ra giới hạn$n$$(n, QD) = 1$$D = P^2 - 4Q$$\left(\frac{D}{n}\right) = -1$$V_{n+1} \equiv 2Q \pmod n$$D, P$$Q$$A^*$$10^8$, nhưng gần đây tôi đã thực hiện tính toán xa hơn). Vì vậy, ngoài các bài kiểm tra spp (2) và slprp (P, Q), sự đồng dạng này thêm sức mạnh bổ sung cho bài kiểm tra nguyên thủy.

Tài liệu tham khảo cho bài kiểm tra:

• Pomerance, Selfridge, Wagstaff, " The Pseudoprimes to 25 x 10 ^ 9 ", tháng 7 năm 1980. Trang 1024-1025, Kiểm tra xem n có phải là cơ sở nguyên tố có thể xảy ra mạnh không 2. Kiểm tra xem n có phải là số nguyên tố có thể xảy ra của Lucas hay không bằng cách sử dụng phương pháp A (Selfridge) hoặc B. Các tác giả cung cấp $ 30 cho người tìm đầu tiên của mẫu phản hoặc bằng chứng về sự không tồn tại. Nó tham khảo bài báo tiếp theo khi thảo luận về bài kiểm tra.

• Baillie và Wagstaff, " Lucas Pseudoprimes ", tháng 10 năm 1980. Trang 1401. Thử nghiệm phân chia đến một số giới hạn thuận tiện. Kiểm tra xem n là một số nguyên tố có thể xảy ra mạnh 2. Kiểm tra xem n là một số nguyên tố có thể có Lucas mạnh bằng phương pháp A (Selfridge) hay B.

• Pomerance, " Có ví dụ nào đối với Kiểm tra tính nguyên thủy của Baillie-PSW không? ", 1984. Tài liệu tham khảo PSW80: Kiểm tra xem n có phải là cơ sở nguyên tố có thể xảy ra mạnh không 2. Kiểm tra xem n có phải là số nguyên tố có thể xảy ra của Lucas hay không bằng cách sử dụng tham số Selfridge (phương pháp A) . Ông đề cập rằng ngay cả khi điều kiện 1 bị suy yếu, mọi kết hợp thành n <= 25 * 10 ^ 9 vẫn thất bại. Bài báo ngắn liên tục gọi sự kết hợp này của một prp cơ sở mạnh 2 và prp Lucas-Selfridge kiểm tra bài kiểm tra "Baillie-PSW".

Tất cả những điều này mô tả bằng cách sử dụng một thử nghiệm cơ bản có thể xảy ra mạnh mẽ cơ sở 2. Bài báo PSW sớm hơn một chút chỉ ra một bài kiểm tra Lucas, trong khi bài viết của BW đề xuất một bài kiểm tra Lucas mạnh mẽ. Các bài báo năm 1980 chỉ ra rằng một trong hai phương pháp lựa chọn tham số cụ thể nên được sử dụng, trong khi bài báo năm 1984 của Pomerance bỏ phương pháp không Selfridge.

Theo tôi, bài báo của Baillie và Wagstaff là tài liệu tham khảo chính, tuy nhiên nên được đọc kết hợp với Pomerance, Selfridge và Wagstaff. Đồng thuận theo thời gian là lựa chọn tham số Selfridge (phương pháp A) nên được sử dụng. Các biến thể khác thường được sử dụng bao gồm thử nghiệm siêu mạnh, thử nghiệm siêu mạnh "gần như" và thử nghiệm Frobenius. Xem trang " Thống kê giả, dữ liệu và bảng " để biết thêm thông tin và liên kết.

Để trả lời các câu hỏi Mathicala của bạn:

1. Dựa trên Pinch (1993) , Mathicala đã từng thực hiện một bài kiểm tra giả mạnh mẽ cơ bản 2, nhưng thực tế, nhưng đã sử dụng một bài kiểm tra "Lucas" không phải là bài kiểm tra Baillie et al. chỉ ra. Pinch tìm thấy giả để thử nghiệm của họ. Ông cũng chỉ ra rằng Wolfram đã sửa đổi thử nghiệm Lucas của họ theo một cách nào đó, nhưng không sử dụng thử nghiệm Lucas nên được sử dụng cho BPSW. Không có thông tin từ Wolfram, chúng tôi không biết họ đã làm gì trong 24 năm qua kể từ đó. Có lẽ họ đã tăng cường thử nghiệm "Lucas" của họ và thêm thử nghiệm MR cơ sở 3 để che giấu các vấn đề. Có lẽ họ đang sử dụng một bài kiểm tra Lucas thích hợp. Chúng tôi không biết.

2. Nếu thử nghiệm Lucas chính xác đã được sử dụng, thì thử nghiệm cơ sở 3 có thể được loại bỏ và chúng tôi sẽ để lại một thử nghiệm BPSW tương tự với thử nghiệm được sử dụng bởi hầu hết các gói khác. Chúng tôi biết rằng hoàn toàn không có mẫu phản ứng nào dưới 2 ^ 64 và không có mẫu phản ứng lớn hơn được biết đến. Thêm một thử nghiệm khác, cho dù là cơ sở 3 hay cơ sở ngẫu nhiên, sẽ thêm một chút chắc chắn hơn cho các đầu vào> 64 bit. Tôi không nghĩ đó là một ý tưởng tồi.

3. Thay thế thử nghiệm cơ sở 2 bằng thử nghiệm cơ sở ngẫu nhiên, theo tôi, là một ý tưởng tồi. Chúng tôi có kết quả nổi tiếng khi sử dụng cơ sở 2, bao gồm cả mẫu không có bit-64-bit rất đẹp. Nó làm cho bài kiểm tra xác định. Mặc dù sử dụng một cơ sở ngẫu nhiên vẫn sẽ giữ lại thuộc tính chống tương quan liên quan đến thử nghiệm Lucas, nhưng nó có sự đánh đổi khác nhau. Cá nhân tôi nghĩ rằng nên sử dụng một bài kiểm tra BPSW thích hợp (cơ sở 2 XUÂN + mạnh / AES / ES Lucas) cộng với một hoặc nhiều bài kiểm tra cơ sở ngẫu nhiên nếu bạn muốn đánh bại những kẻ thù bí mật biết các giả danh BPSW. Hoặc thêm công việc làm thêm cho bài kiểm tra Frobenius trên bài kiểm tra Lucas.

Bạn đang hỏi hai câu hỏi. Tôi sẽ chỉ trả lời đầu tiên.

Rất có khả năng Mathicala sử dụng bài kiểm tra cơ sở 2 và 3 làm tối ưu hóa . Các cơ sở này có thể nhanh hơn để kiểm tra (vì độ lớn của chúng) và chúng hoạt động cho cả hai số. Bạn có thể bỏ qua bài kiểm tra này nếu bạn muốn, nhưng hàm kết quả sẽ chậm hơn trung bình.