Cách tạo n điểm tương đương trong không gian n-1

Như đã nói, tôi muốn xây dựng một chương trình để tạo ra n điểm tương đương trong một không gian eidianidian. Từ những gì tôi biết

• 1đ: tất cả vài điểm
• 2d: tất cả các tam giác đều
• 3d: tất cả các tứ diện đều
• lên đến 3d: tôi cho rằng nó được gọi là siêu liên kết ngang

Vì vậy, vấn đề của tôi là như sau, trong một không gian eidianidian n-1, đưa ra một điểm xác định xây dựng n-1 khác để có một siêu đối xứng bằng nhau với một d xa giữa mỗi điểm.

Tôi cho rằng chúng ta có thể bắt đầu như sau với một không gian 3d.

• cố định p1 = (x1, y1, z1)
• p2 = (x2, y2, z2)
• p3 = (x3, y3, z3)
• p4 = (x4, y4, z4)
• d

Chúng tôi bắt đầu sửa p2 khi biết d và p1

• $d²=(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2$

Ta có 3 biến x2, y2, z2. Chúng tôi có thể sửa ngẫu nhiên hai trong số chúng và xác định cái thứ ba mà không gặp vấn đề gì.

Sau đó, đến điểm thứ hai, chúng ta có 2 phương trình để xác định nó:

• $d²=(x_1-x_3)^2 + (y_1-y_3)^2 + (z_1-z_3)^2$
• $d²=(x_2-x_3)^2 + (y_2-y_3)^2 + (z_2-z_3)^2$

Như trước đây, tôi cho rằng chúng ta có thể sửa 2 biến để xác định biến thứ ba.

Đối với điểm cuối cùng, chúng ta có 3 phương trình xác định nó.

Vì vậy, đối với không gian n-1 chiều, chúng ta có phương trình n-1 để xác định điểm cuối cùng.

Tôi không biết làm thế nào để giải quyết loại hệ thống này bao gồm phương trình bậc hai với một biến và nếu quá trình bao gồm sửa kích thước n-1 để xác định hệ số cuối cùng dẫn đến một siêu liên kết tương đương. Hơn nữa, nó tồn tại có thể là các phương thức khác với độ phức tạp nhỏ hơn và dễ thực hiện hơn.

Tôi hy vọng tôi đã đủ rõ ràng và tôi cảm ơn sự giúp đỡ của bạn.

Tôi giả sử chúng ta đang làm việc trong .$\mathbb{R}^n$

Trước hết, hãy quan sát rằng một thông thường sẽ xác định hiệu quả tất cả những cái khác. Trên thực tế, nếu là hai tập hợp điểm trong thỏa mãn điều kiện đều đặn, thì chúng có thể thu được từ nhau bằng cách kết hợp tối đa một phép đo hình học và biến đổi homothetic của không gian affine ( ngược lại cũng đúng).$n-$$S_1, S_2$$\mathbb{R}^n$

Do đó, nó là đủ để xây dựng một đơn giản tập trung vào nguồn gốc. Chúng tôi hình dung từng đỉnh của đơn giản là một phần tử của không gian vectơ chiều hai chiều thực .$n-$$v_1, v_2, \dots v_{n+1}$$n$

Hãy xem xét hai đỉnh của simplex, chúng ta hãy được nguồn gốc và là mặt phẳng đi qua . Góc chính xác là . Để chứng minh điều đó, chúng tôi quan sát rằng:$v_1, v_2$$O$$\pi$$v_1, v_2, O$$\vartheta =\angle v_1 O v_2$$\arccos (-1/n)$

$$0 = \left \| \sum_{i} v_i \right \|^2 = (n+1) + 2 \cos\vartheta \binom{n+1}{2}$$

Chúng tôi suy luận rằng giữ sau:

• $\forall i \quad \| v_i \| = 1$

• $\forall i \neq j \quad \left \langle v_i, v_j\right \rangle = -1/n$

Chúng ta có thể giả sử mà không mất tính tổng quát rằng nằm trên cùng một đường thẳng, rằng nằm trên cùng một mặt phẳng với các mặt phẳng khác, v.v. (nói chung, với mỗi , nằm trên cùng một không gian con của với thứ nguyên ). Do đó, chúng ta có thể viết các vectơ theo tọa độ như sau:$v_1, v_2$$v_3$$k$$v_1, v_2, \dots v_k$$\mathbb{R}^n$$k$

$$\begin{array}{r c l} \begin{array}{r} v_1 \\ v_2 \\ \cdots \\ v_{n+1} \end{array} & \begin{array}{r} = \\ = \\ \\ = \end{array} & \begin{array}{c c c c c c} (x_{1,1} & 0 & 0 & 0 & \dots & 0)^T \\ (x_{2,1} & x_{2,2} & 0 & 0 & \dots & 0)^T \\ \\ (x_{n+1, 1} & x_{n+1, 2} & x_{n+1, 3} & x_{n+1, 4} & \dots & x_{n+1, n+1})^T \\ \end{array} \end{array}$$

Phương trình đầu tiên xác định duy nhất và phương trình thứ hai tất cả . Bây giờ chúng tôi sử dụng lại lần đầu tiên để tính và với lần thứ hai, chúng tôi xác định tất cả các .$x_{1,1}$$x_{m,1}$$x_{2,2}$$x_{2, m}$

Tiếp tục quy trình theo cách tương tự sẽ tính các giá trị tọa độ của tất cả các đỉnh.

Bạn có thể tạo các điểm tương đương n-1 bằng cách sử dụng các vectơ đơn vị dọc theo mỗi trục aka. (1, 0, 0, 0, ..., 0); (0, 1, 0, 0, ..., 0); (0, 0, 1, 0, ..., 0); v.v., điểm thứ n cuối cùng sẽ dọc theo hướng 1, 1, 1, ..., 1.

Sau đó, bạn có thể sử dụng thang đo để đặt khoảng cách giữa các điểm từ đến và dịch để di chuyển một trong các điểm đến điểm cố định$\sqrt 2$$d$