Tại sao sự ngẫu nhiên là một vấn đề? (tức là tại sao chúng ta quan tâm đến việc khử cộng đồng?)

Tôi đang đọc khảo sát của Aaronson về P so với NP, và tôi đã hiểu rằng trong lý thuyết CS, mọi người thực sự quan tâm đến kết quả khử nhiễu như P so với BPP, v.v. Câu hỏi của tôi là, vấn đề ngẫu nhiên là gì? Nếu thuật toán của bạn được biết là chỉ yêu cầu số bit ngẫu nhiên đa thức, thì bạn chỉ cần yêu cầu nhà vật lý lấy bit cho bạn, đó không phải là vấn đề vì bạn chỉ cần số lượng có thể điều chỉnh được, sau đó viết chúng lên Băng máy Turing và bạn tốt! Mục tiêu của lý thuyết phức tạp là tìm ra những gì chúng ta có thể tính toán trong vũ trụ này, phải không? Chà, vũ trụ này có sự ngẫu nhiên, phải không? Vậy tại sao chúng ta quan tâm đến việc khử cộng đồng? Câu trả lời lý thuyết và thực tế đều được chào đón.

Lý thuyết phức tạp là một lý thuyết toán học nhằm giải quyết một thiếu sót của lý thuyết tính toán, cụ thể là, nó tính đến việc sử dụng tài nguyên. Mặc dù đúng là trong những ngày đầu, nó nhằm mục đích nắm bắt khái niệm "tính toán thực tế" (thậm chí cả những hương vị đặc biệt như tính toán song song, được cho là của NC), nó đã bị tách ra và tách khỏi thực tế. Ví dụ, bạn có thể thực hiện các bước cao hơn trong hệ thống phân cấp đa thức, các lớp có độ phức tạp cao hơn như PSPACE, các lớp được xác định bằng cách sử dụng xen kẽ, v.v. Thật vậy, phần lớn tài liệu này có từ những ngày đầu của lý thuyết phức tạp, cho thấy rằng nó mất liên lạc với thực tế khá nhanh.

Theo truyền thống, hai tài nguyên quan trọng nhất được nghiên cứu bởi lý thuyết phức tạp là thời gian và không gian. Tuy nhiên, các tài nguyên khác cũng quan tâm đến các nhà lý thuyết phức tạp, ví dụ như sự xen kẽ và ngẫu nhiên (không đề cập đến thế giới của sự phức tạp mạch). Về mặt triết học, đây là một câu hỏi hấp dẫn liệu tính ngẫu nhiên có làm giảm đáng kể thời gian tính toán của một số vấn đề hay không, liệu mức tăng chỉ là đa thức (như được gợi ý bởi phỏng đoán P = BPP). Tuy nhiên, nó dường như không có bất kỳ sự liên quan thực tế nào, mặc dù không phải vì lý do bạn đề cập. Trong thực tế, không cần sự ngẫu nhiên thực tế (ngoài mục đích mã hóa), và các trình tạo số giả ngẫu nhiên hoạt động đủ tốt.

Tôi không phải là một chuyên gia lý thuyết phức tạp, nhưng tôi nghĩ có một số lý do thực tế để quan tâm đến câu hỏi này.

1. Như Derek Elkins đã lưu ý, thực sự tạo ra các số ngẫu nhiên "vật lý" là khá khó khăn và việc tạo ra phân phối đúng với lượng entropy phù hợp ở tốc độ đủ là đủ khó để biện minh cho các trang web và phần cứng tùy chỉnh . Thật tốt khi biết điều này có thể tránh được, ít nhất là trên lý thuyết.

2. Trong vật lý cổ điển, không có sự ngẫu nhiên "thực sự", chỉ là các định luật vật lý (xác định) và các điều kiện ban đầu của hệ thống (hoặc toàn bộ vũ trụ, tôi đoán vậy). Đó là một câu hỏi triết học thú vị cho dù sự ngẫu nhiên này có tương đương với sự ngẫu nhiên thực sự trong một số ý nghĩa. Câu hỏi này tìm thấy câu trả lời trong các lĩnh vực của lý thuyết hỗn loạn , lý thuyết về các quá trình ergodic và trong khoa học máy tính, trong các câu hỏi như P vs BPP.

3. Câu hỏi liệu chúng ta có thể mô phỏng chính xác tính ngẫu nhiên trong P vs BPP dường như rất liên quan đến câu hỏi liệu chúng ta có thực sự thực hiện mã hóa hay không, giả sử, sự tồn tại của các hàm bẫy hoặc một chiều . Cụ thể, khả năng tạo ra các bit "nhìn ngẫu nhiên" đủ cho bất kỳ thuật toán cụ thể nào có vẻ như là một điều kiện tiên quyết tốt để tìm một hàm mật mã mã hóa một thông điệp nhất định thành một luồng bit không thể phân biệt được với các bit ngẫu nhiên, nếu không biết khóa . Vì vậy, việc giải quyết câu hỏi rất khó về sự tồn tại của các hàm một chiều cần phải giải quyết P vs BPP trên đường đi.