Sự phức tạp của vấn đề phổ quát đối với một NFA với tất cả các quốc gia chấp nhận là gì?

Người ta biết rằng vấn đề phổ quát đối với NFA (quyết định xem ) có phải là -complete hay không. Tuy nhiên, điều gì sẽ xảy ra nếu mọi trạng thái của NFA được biết là chấp nhận? Dường như với tôi rằng vấn đề là ở hầu hết trong - , như một phản ví dụ (không giống như trong trường hợp của một NFA nói chung) là đa thức (thậm chí tuyến tính) trong kích thước của đầu vào (số tiểu bang). Sự phức tạp của vấn đề này là gì? $L(A)=\Sigma^*$ $PSPACE$ $co$ $NP$

complexity-theory regular-languages finite-automata

— phát âm
nguồn

Trừ khi có vấn đề trong bằng chứng của tôi, rất có thể vấn đề của bạn không phải là NP vì nó ám chỉ rằng co-NP = PSPACE. Vì một ví dụ mẫu (nghĩa là một từ bị từ chối) thực sự có thể được kiểm tra theo thời gian đa thức về kích thước của nó, tôi nên tạm thời nói rằng phải có một vấn đề trong chứng minh của bạn rằng luôn có một mẫu đối lập về kích thước đa thức. Bạn có thể vui lòng giải thích làm thế nào bạn sẽ tìm thấy một ví dụ kích thước đa thức như vậy? Điều duy nhất tôi có thể nghĩ đến là tìm kiếm một con đường ngắn nhất đến trạng thái mà hàm chuyển đổi không hoàn toàn nhưng có thể có một con đường khác hoạt động ...

— xavierm02

Không đúng là mẫu phản ứng ngắn nhất có kích thước đa thức. Hãy xem xét một NFA có trạng thái ban đầu được kết nối với các chu kỳ dài

2, p_{1}, \dots, p_{m}

$2,p_1,\ldots,p_m$ . Bạn có thể sắp xếp cho từ

1^{n} 0

$1^n0$ không được chấp nhận chỉ khi

n

$n$ là số lẻ và bội số của

p_{1}, \dots, p_{m}

$p_1,\ldots,p_m$ . Bằng cách chọn

p_{i}

$p_i$ là người đầu tiên

m + 1

$m+1$ số nguyên tố, bạn có được một NFA với

O (m^{2} \log m)

$O(m^2\log m)$ trạng thái trong đó từ bị từ chối ngắn nhất có độ dài

e^{(1 + o (1)) m \log m}

$e^{(1+o(1))m\log m}$ .

— Yuval Filmus

Một sự giảm bớt đơn giản từ SAT cho thấy vấn đề thực sự là coNP-hard. Các nhánh NFA thành các bộ phận theo các điều khoản. Mỗi phần kiểm tra xem đầu vào, bao gồm một nhiệm vụ theo sau bởi

$

$\$$ , thỏa mãn điều khoản và nếu vậy bị kẹt ở trận chung kết

$

$\$$ . NFA này không phải là phổ biến nếu trường hợp SAT là thỏa đáng.

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus Bạn đúng về ví dụ mẫu, nhưng hóa ra tôi đã hiểu sai vấn đề. tôi biết điều đó

L (A)

$L(A)$ không có từ nào có các chữ cái lặp lại liên tiếp và tôi đang tìm kiếm tính phổ quát đối với tất cả các từ không có chữ cái lặp lại liên tiếp. Có một mẫu phản ứng theo cấp số nhân trong trường hợp đó không?

— pron

@YuvalFilmus Ngoài ra, bảng chữ cái là không lớn hơn số lượng của các quốc gia + 1.

— pron

Vấn đề của bạn là PSPACE hoàn tất. Tôi chứng minh rằng đó là PSPACE-hard bằng cách giảm tính phổ biến của NFA thành tính phổ quát của NFA với tất cả các quốc gia chấp nhận.

Để cho $A$ là một NFA. Thêm một trạng thái cuối cùng mới $q_\$$ cho nó và cho mọi trạng thái chấp nhận $q$ , thêm một chuyển đổi $q\overset{\$}{\to}q_\$$ Ở đâu $\$$ là một lá thư mới. Đối với mỗi chữ cái $a\in \Sigma\sqcup \{\$\}$ , cũng thêm một chuyển đổi $q_\$\overset{a}{\to}q_\$$ . Và sau đó làm cho tất cả các quốc gia chấp nhận. Máy tự động mới chấp nhận $L(A)\$ (\Sigma\sqcup \{\$\})^* \sqcup L'$ cho một số $L'\subseteq \Sigma^*$ .

Bây giờ, thêm một số automaton (với tất cả các trạng thái cuối cùng) nhận ra ngôn ngữ $\Sigma ^*$ (tức là ngôn ngữ của những từ không chứa $\$$ ) song song. Máy tự động mới sẽ nhận ra $L(A)\$ (\Sigma\sqcup \{\$\})^* \sqcup (L' \cup \Sigma ^*)=L(A)\$ (\Sigma\sqcup \{\$\})^* \sqcup \Sigma ^*$ .

Bây giờ, lưu ý rằng chúng ta có $L(A)=\Sigma^*$ iff $L(A)\$ (\Sigma\sqcup \{\$\})^* \sqcup \Sigma ^*=(\Sigma\sqcup\{\$\})^*$ . Tức là quá trình tôi mô tả là sự giảm từ tính phổ biến của NFA sang tính phổ quát của NFA với tất cả các quốc gia chấp nhận. Vì mức giảm là đa thức, nên vấn đề của bạn là PSPACE-hard.

— xavierm02
nguồn

Làm thế nào để bạn xây dựng một NFA cho

Σ^{*} ∖ Σ^{*} $

$\Sigma^* \setminus \Sigma^*\$$ tất cả các quốc gia đang chấp nhận?

— Yuval Filmus

Cảm ơn bạn, đó là một giảm tốt đẹp, và thực sự trả lời câu hỏi của tôi. Tuy nhiên, tôi đã có một câu hỏi khác, phức tạp hơn trong đầu mà tôi nghĩ rằng tôi có thể giảm xuống câu hỏi này, và ví dụ về hàm mũ của @YuvalFilmus khiến tôi nhận ra rằng sự giảm bớt của mình là sai lầm, và tôi nên thêm vào ràng buộc đó

L (A)

$L(A)$ không chứa các từ có các chữ cái lặp đi lặp lại và tôi đang kiểm tra "tính phổ quát" đối với các từ đó.

— pron

@pron Ý của bạn là "từ có chữ lặp đi lặp lại" là gì? Cái đó

u = v_{1} a a v_{2}

$u=v_1aav_2$ hoặc đó

u = v_{1} a v_{2} a v_{3}

$u=v_1av_2av_3$ ?

— xavierm02

@ xavierm02 Chữ cái đầu tiên, nghĩa là không có chữ cái lặp lại liên tiếp . Có một mẫu phản ứng theo cấp số nhân trong trường hợp đó không?

— pron

@ xavierm02 Ngoài ra, bảng chữ cái là không lớn hơn số lượng của các quốc gia + 1.

— pron