Đồ thị 3 màu có thể tự giảm

Tôi quan tâm đến khả năng tự giảm của vấn đề Biểu đồ 3-Coloralibity.

Định nghĩa vấn đề đồ thị 3-Coloralibity.

Cho một đồ thị vô hướng có tồn tại cách tô màu cho các nút đỏ, lục và lam để không có các nút lân cận có cùng màu không? $G$

Định nghĩa tự giảm.

Một ngôn ngữ có thể tự giảm nếu máy ture oruring tồn tại sao cho và với bất kỳ đầu vào có độ dài , truy vấn lời tiên tri cho các từ có độ dài tối đa . $L$ $T$ $L=L(T^L)$ $x$ $n$ $T^L(x)$ $n-1$

Tôi muốn thể hiện một cách rất nghiêm ngặt và trang trọng rằng đồ thị 3 màu có thể tự giảm.

Bằng chứng về khả năng tự giảm SAT có thể được sử dụng làm ví dụ ( khả năng tự giảm SAT ).

Theo tôi, ý tưởng chung về bằng chứng về khả năng tự giảm của đồ thị 3 - màu khác với bằng chứng về khả năng tự giảm SAT ở một số khía cạnh.

SAT có hai lựa chọn cho mọi nghĩa đen (đúng hoặc sai) và Biểu đồ 3 - khả năng tô màu có ba lựa chọn (cụ thể là màu xanh đỏ).
Các lựa chọn của SAT theo nghĩa đen là độc lập với nhau và các lựa chọn màu sắc của màu sắc của Biểu đồ 3 phụ thuộc hoàn toàn, bất kỳ nút liền kề nào cũng phải có màu khác nhau, thuộc tính này có thể giúp tạo ra ít sự lặp lại giữa tất cả các màu.

Ý tưởng chung của bằng chứng .

Hãy biểu thị bằng màu của đỉnh , có thể lấy một trong các giá trị sau (đỏ, lục, lam). Xác định biểu đồ từ một biểu đồ bằng cách tô màu đỉnh tùy ý , gán cho' đỏ 'và đặt biểu đồ với đỉnh màu vào đầu vào của nhà tiên tri. Nếu oracle trả lời 1, có nghĩa là đồ thị đã sửa đổi vẫn có thể 3 màu, hãy lưu các bài tập hiện tại và bắt đầu phép lặp mới, với đỉnh khác nhau được chọn tùy ý, màu đỉnh $c_{v_i}$ $v_i$ $G'$ $G$ $v_0$ $c_{v_0}$ $G'$ $v_0$ $v_1$ $v_1$ theo màu sắc của các đỉnh liền kề. nếu oracle trả lời 0, có nghĩa là bài tập trước đã phá vỡ 3 màu, chọn màu khác với bộ ba màu, nhưng vẫn theo màu của các đỉnh liền kề.

Bằng chứng trước đây không phải là toán học mạnh mẽ, câu hỏi là làm thế nào để cải thiện nó và làm cho nó trở nên chính thức và toán học chặt chẽ hơn. Có vẻ như tôi cần phân biệt kỹ hơn các trường hợp khi đỉnh mới không có bất kỳ cạnh nào với các đỉnh đã được tô màu và khi đỉnh mới tiếp giáp với các đỉnh đã được tô màu.

Ngoài ra, tôi muốn chứng minh rằng khả năng tô màu của đồ thị 3 là tự giảm xuống.

Định nghĩa của ngôn ngữ tự giảm xuống.

Ngôn ngữ được cho là có thể tự giảm xuống nếu có thể xác định trong thời gian đa thức nếu sử dụng kết quả của các truy vấn ngắn nhất. $A$ $x \in A$

Ý tưởng có vẻ đơn giản và trực quan: bắt đầu bằng việc tô màu một đỉnh tùy ý và trên mỗi lần lặp lại thêm một đỉnh có màu khác và kiểm tra bằng lời nói nếu đồ thị vẫn có thể tô màu 3 màu, nếu không đảo ngược màu trước đó và kiểm tra màu khác.

Nhưng làm thế nào để viết bằng chứng một cách nghiêm ngặt và quan trọng hơn là làm thế nào để tìm ra một bảng mã phù hợp của đồ thị.

Nói tóm lại, tôi muốn chỉ ra rằng đồ thị 3 màu có thể tự giảm và tự giảm xuống theo cách nghiêm ngặt và trang trọng.

Tôi sẽ đánh giá cao việc chia sẻ suy nghĩ của bạn với chúng tôi.

Cập nhật:

tự giảm

Khả năng tự giảm xuống được áp dụng cho vấn đề quyết định và nó trả lời cho cùng một vấn đề quyết định với đầu vào ngắn hơn, khi kết thúc quá trình tự giảm xuống, chúng ta nên có các bài tập màu phù hợp.

Cứ 3 - đồ thị có thể tô màu có nhiều hơn ba đỉnh, có hai đỉnh có cùng màu. Rõ ràng, chỉ có ba màu và nhiều hơn ba đỉnh nên một số đỉnh không liền kề có thể có cùng màu. Nếu chúng ta hợp nhất và với cùng màu với kết quả, chúng ta vẫn có đồ thị 3 màu, chỉ vì, nếu đồ thị có 3 màu, thì tồn tại sự gán đúng của tất cả các đỉnh liền kề với và theo cùng màu của , do đó bằng cách hợp nhất $G$ $x,y$ $x$ $y$ $x$ $y$ $x, y$ $x, y$ chúng ta không cần thay đổi bất kỳ màu nào của bất kỳ đỉnh nào, chúng ta chỉ cần thêm nhiều cạnh giữa các đỉnh đã được tô màu chính xác (tôi biết đó không phải là lời giải thích tốt nhất, tôi sẽ đánh giá cao nếu ai đó có thể giải thích rõ hơn). Trên mỗi iteration chúng tôi mất hai đỉnh không liền kề của đồ thị , merge và và get đồ thị mà là đầu vào ngắn của chúng tôi để các oracle. Oracle trả lời nếu nó 3 màu hay không. Bây giờ vấn đề là trước khi thiết lập trên đầu vào của oracle tôi nên màu sắc được kết hợp đỉnh và thử nghiệm colorability của $x,y$ $G$ $x$ $y$ $G'$ $G'$ $G'$ , nếu nó không thể thay đổi màu 3 màu, nhưng làm thế nào để thực hiện nó một cách chính xác, tôi cần mã hóa đúng cho nó.

tự giảm

$G$ $G'$ $G$ $G$ $G'$

complexity-theory reductions

— com
nguồn

chỉ là một lưu ý: Tôi nghĩ rằng trong phần tự giảm, bạn nên sử dụng phiên bản "trần" của vấn đề quyết định: đầu vào của vấn đề quyết định là biểu đồ chứ không phải biểu đồ có một số nút màu. Vì vậy, bạn nên sửa đổi biểu đồ ban đầu để mô phỏng màu bắt buộc của một số nút (và cố gắng giữ cho cá thể ngắn hơn). Trong SAT điều này dễ hơn vì bạn chỉ cần đặt giá trị của một biến và đơn giản hóa các mệnh đề.

— Vor

Sự khác biệt giữa tự giảm và tự giảm xuống là gì?

— Yuval Filmus

S

$S$

S

$S$

x

$x$

q

$q$

| q | < | x |

$|q| < |x|$

Trong khi đó một bộ có thể tự giảm nếu ...?

— Yuval Filmus

R

$R$

S_{R}

$S_R$

$v$ $c$ $v,c$

$G$ $x,y$ $x$ $y$

$x,y$ $G_{xy}$ $G$ $G_{xy}$

— Yuval Filmus
nguồn

O (1)

$O(1)$

G^{'}

$G'$

G

$G$

G

$G$

x, y

$x, y$

G^{'}

$G'$

G

$G$

G

$G$

c

$c$

c (x) = c (y)

$c(x) = c(y)$

G_{x y}

$G_{xy}$

x

$x$

y

$y$

G_{x y}

$G_{xy}$

Bây giờ tôi đã hiểu sự khác biệt giữa khả năng tự giảm và khả năng tự giảm xuống, tôi nhận thấy rằng gợi ý của tôi chỉ có ý nghĩa cho cái sau. Đã thêm một gợi ý khác cho trước đây. Có lẽ điều đó giúp.

— Yuval Filmus

Có lẽ như thế này. Chúng ta có thể thêm hai đỉnh l1 và l2 được kết nối. Đầu tiên, chúng tôi kết nối chúng với bất kỳ đỉnh v *. Lưu ý rằng hành vi này có nghĩa là cuối cùng, chúng ta chỉ khóa một số đỉnh màu bao gồm v *.

Sau đó, chúng tôi chạy phiên bản quyết định của 3 màu, nếu thuật toán quyết định chấp nhận, thì chúng tôi thêm đỉnh này vào s_1. chúng ta lặp lại bước này với mọi đỉnh (kết nối l1 và l2 với một đỉnh khác), chúng ta sẽ thấy rằng cuối cùng, tất cả các đỉnh có cùng màu (được ký hiệu là màu đỏ) được tìm thấy và các đỉnh này có màu đỏ được ký hiệu là s_1.

Nếu có bất kỳ vấn đề, xin vui lòng chỉ ra.🤥

Tiếp theo, giống như những gì chúng ta làm ở trên, thêm hai đỉnh được kết nối khác (l3 l4), Đầu tiên, chúng ta kết nối chúng với bất kỳ đỉnh nào ngoại trừ các đỉnh trong s_1, chạy thuật toán quyết định. Rồi khác .....

— YK X
nguồn