Tìm chuỗi câu hỏi tối ưu để giảm thiểu tổng thời gian học sinh

Giả sử có một buổi hướng dẫn tại một trường đại học. Chúng tôi có một bộ câu hỏi và một bộ học sinh . Mỗi học sinh có một nghi ngờ trong một tập hợp câu hỏi nhất định, tức là đối với mỗi học sinh , hãy để là tập hợp các câu hỏi mà học sinh nghi ngờ. Giả sử rằng và .$k$$Q = \{ q_1 \ldots q_k \}$$n$$S = \{ s_1 \ldots s_n \}$$s_j$$Q_j \subseteq Q$$\forall 1 \leq j \leq n: Q_j \neq \phi$$\bigcup_{1\leq j\leq n}Q_j = Q$

Tất cả các sinh viên tham gia vào buổi hướng dẫn vào đầu (tại ). Bây giờ, một sinh viên rời khỏi buổi hướng dẫn ngay khi tất cả các câu hỏi mà anh ta nghi ngờ đã được thảo luận. Giả sử thời gian thảo luận cho mỗi câu hỏi bằng nhau, giả sử 1 đơn vị . Đặt là thời gian dành cho trong phiên hướng dẫn. Chúng tôi muốn tìm ra một hoán vị tối ưu trong đó các câu hỏi được thảo luận như vậy số lượng được thu nhỏ.t = 0 * t j s j σ ( q σ ( 1 ) ... q σ ( n ) ) T σ = Σ 1 ≤ j ≤ n t $t = 0$$^*$$t_j$$s_j$$\sigma$$(q_{\sigma(1)} \ldots q_{\sigma(n)})$$T_\sigma = \Sigma_{1\leq j \leq n}t_j$

Tôi chưa thể thiết kế thuật toán thời gian đa thức hoặc chứng minh -hardness.$\mathsf{NP}$

Chúng tôi có thể xác định phiên bản quyết định của vấn đề

trong đó là tập hợp các . $\mathcal{F}_Q$$Q_j$

Sau đó, chúng tôi có thể tìm ra T_ \ sigma tối thiểu $T_\sigma$bằng cách sử dụng tìm kiếm nhị phân trên $C$ và tìm ra \ sigma tối ưu $\sigma$bằng cách sử dụng các phép gán một phần cho $\sigma$ trong thời gian đa thức bằng cách sử dụng một lời tiên tri cho $\mathsf{TUT}$ . Ngoài ra, $\mathsf{TUT} \in \mathsf{NP}$ vì \ sigma tối ưu $\sigma$có thể được sử dụng làm chứng chỉ mà chúng tôi có thể xác minh dễ dàng trong thời gian đa thức.

Câu hỏi của tôi: Là T U T N $\mathsf{TUT}$ $\mathsf{NP}$ hay chúng ta có thể thiết kế một thuật toán thời gian đa thức cho nó không?

Sidenote: Nhân tiện, tôi đã nghĩ đến câu hỏi này sau một buổi hướng dẫn thực tế, trong đó TA đã thảo luận các câu hỏi theo thứ tự bình thường $q_1 \ldots q_n$ vì nhiều sinh viên phải đợi đến cuối.

Ví dụ
Đặt $k=3$ và $n=2$ . $Q_1 = \{q_3\}$ và $Q_2 = \{q_1, q_2, q_3\}$ . Chúng ta có thể thấy rằng \ sigma = \ langle 3, 1, 2 \ rangle tối ưu $\sigma = \langle 3, 1, 2 \rangle$vì trong trường hợp đó, $s_1$ rời đi sau $t_1 = 1$ và $s_2$ rời đi sau $t_2 = 3$ , vì vậy tổng là 4.
Tuy nhiên, nếu chúng ta thảo luận các câu hỏi trong thứ tự $\langle 1, 2, 3\rangle$ , sau đó $s_1$ và $s_2$ đều phải đợi đến cuối và $t_1 = t_2 = 3$ , vì vậy tổng là 6.

* Q i x $^*$ Bạn có thể tự do giải quyết trường hợp tổng quát hơn trong đó mỗi câu hỏi sẽ lấy các đơn vị để thảo luận!$q_i$$x_i$

Tôi nghi ngờ vấn đề là NP-hard. Tôi sẽ chỉ cho bạn cách biến đổi vấn đề sao cho nó liên quan mật thiết đến một vấn đề NP-hard. (Vâng, điều này khá mơ hồ. Về cơ bản tôi nghĩ cách tiếp cận chung của tôi là đúng, nhưng hiện tại tôi không thể tiến hành.)$\mathsf{TUT}$

Đầu tiên, lưu ý rằng vấn đề có thể được định dạng lại như sau:$\mathsf{TUT}$

Cho một tập hợp các câu hỏi có kích thước , một tập hợp tập hợp con và một số nguyên , có tồn tại một chuỗi sao cho tất cả :Q k n F Q ⊆ P ( Q ) C Σ : ⟨ S 1 , ... , S k ⟩ i ∈ { 1 , ... , k $Q$$k$$n$$\mathcal{F}_Q\subseteq \mathcal{P}(Q)$$C$$\Sigma : \langle S_1,\ldots, S_k\rangle$$i \in\{1,\ldots,k\}$

1. S i ⊆ Q | S i | = $S_i\subseteq Q$ và ; và$|S_i|=i$
2. S i ⊂ S j j > $S_i \subset S_j$ cho tất cả ; và$j>i$
3. $\sum_{i=1}^k |\{q\in\mathcal{F}_Q\mid q\not\subseteq S_i\}| \leq C$ ?

Lưu ý rằng tập đại diện cho các câu hỏi đầu tiên sẽ được giải thích. Điều kiện 1 và 2 đảm bảo rằng các tập hợp con được hình thành tốt theo cách giải thích này. Điều kiện 3 tính số lượng sinh viên chưa từng có tại mọi thời điểm, do đó, nó thực sự tính tổng thời gian chờ đợi trong số tất cả các sinh viên.S i$S_i$$i$

Bây giờ, chúng tôi giới hạn kích thước của các tập con trong đến , vì vậy chúng tôi có thể đại diện cho những tập con như mép trên một đồ thị mà các đỉnh là những yếu tố từ . (Kết quả độ cứng cho trường hợp đặc biệt này là đủ cho độ cứng của vấn đề chung)F Q 2$\mathcal{F}_Q$$2$$Q$

Bây giờ, vấn đề giảm thiểuđối với một (về cơ bản là bỏ qua điều kiện 2) tương đương với vấn đề sau, mà tôi gọi là ' ':| { q ∈ F Q ∣ q ⊈ S i } | i Double max  k$|\{q\in\mathcal{F}_Q\mid q\not\subseteq S_i\}|$$i$$\mathsf{\text{Double max $k$-vertex-cover}}$

Cho một đồ thị vô hướng và các số nguyên và , có tồn tại một tập hợp các đỉnh có kích thước tối đa sao cho tập có kích thước ít nhất là ?G = ( V , E ) k t V ' ⊆ V k { ( u , v ) ∈ E | u ∈ V ' ∧ v ∈ V ' } $G=(V,E)$$k$$t$$V'\subseteq V$$k$$\{(u,v)\in E\mid u\in V' \wedge v \in V' \}$$t$

Vấn đề này là NP-hard, vì -clique là trường hợp đặc biệt của vấn đề này, như câu trả lời này cho thấy. Tuy nhiên, điều này không đủ để chứng minh là NP-hard, vì chúng ta cần tìm tối đa cho mọi , trong khi tuân thủ điều kiện 2. Điều kiện này không được thỏa mãn bởi mọi chuỗi chỉ thỏa mãn điều kiện 1 và 3: xem xét biểu đồ trên đỉnh với hai chu kỳ tách rời nhau, một kích thước , kích thước . Đối với , việc chọn tất cả các đỉnh trong mô-đun sẽ cho mức tối đa, trong khi chọn tất cả các đỉnh của mô-tơ là tối ưu chok T U T i Σ 7 4 3 i = 3 3 4 i = $k$$\mathsf{TUT}$$i$$\Sigma$$7$$4$$3$$i=3$$3$$4$$i=4$ .

Có vẻ như điều kiện 2 làm cho vấn đề trở nên khó khăn hơn và chắc chắn là không dễ dàng hơn, điều đó có nghĩa là phải là NP-hard, nhưng tôi chưa thấy một phương pháp nào để chính thức chứng minh điều này.$\mathsf{TUT}$

Vì vậy, để tóm tắt, tôi đã giảm câu hỏi như sau:

• Có thể bao gồm điều kiện 2 để hoàn thành bằng chứng độ cứng cho không?$\mathsf{TUT}$

Lưu ý bên lề: Công thức tôi đưa ra khiến cho việc thử một thuật toán lặp tìm thấytrong điều kiện 2 từ , bằng cách tìm tất cả các 'phần mở rộng' tối đa của tất cả các bộ tối đa được tìm thấy cho . Điều này không dẫn đến một thuật toán hiệu quả, vì số lượng tập tối đa tại một lần lặp duy nhất có thể là số mũ theo . Ngoài ra, tôi chưa thấy một phương pháp nào để xác định liệu một tập hợp con cho một số cuối cùng sẽ trở thành mức tối đa 'toàn cầu' để ngăn chặn việc kiểm tra số lượng tập hợp con theo cấp số nhân.| { q ∈ F Q ∣ q ⊈ S i } | i = 1 ... k i - 1 k $|\{q\in\mathcal{F}_Q\mid q\not\subseteq S_i\}|$$i=1\ldots k$$i-1$$k$$i$