Tại sao

8

$3^n = 2^{O(n)}$ rõ ràng là đúng. Tôi nghĩ rằng đó là sai mặc dù vìphát triển nhanh hơn bất kỳ hàm số mũ nào với cơ sở là 2. $3^n$

Làm thế nào là đúng? $3^n = 2^{O(n)}$

asymptotics landau-notation

— David giả
nguồn

1

Coi chừng lạm dụng ký hiệu!

— Raphael

Thực sự tôi không thể hiểu nghĩa là gì? Đầu tiên tôi đổi nó thành , sau đó tôi lại thấy điều này là vô nghĩa. Câu hỏi IMO là vô nghĩa.

3^{n} = 2^{O (n)}

$3^n = 2^{O(n)}$

3^{n} \in 2^{O (n)}

$3^n \in 2^{O(n)}$

1

Đó là cực kỳ phổ biến để ghi

cho những gì nên theo nghĩa chặt chẽ được

. Phổ biến đến mức nó thậm chí còn không được coi là lạm dụng ký hiệu.

f (x) = O (g (x))

$f(x)=O(g(x))$

f (x) \in O (g (x))

$f(x)\in O(g(x))$

— David Richerby

12

Với một số đại số (và thay đổi hằng số trong ), chúng ta thực sự có thể thay đổi các cơ sở. $O(n)$

3^{n} = = (2^{{đăng nhập}_{2} 3})^{n} = = 2^{n {đăng nhập}_{2} 3}

$3^n = (2^{\log_2 3})^n = 2^{n\log_2 3}$

Vì là hằng số, . Vậy . $\log_2 3$ $n\log_2 3 = O(n)$ $3^n = 2^{O(n)}$

Tôi không chắc ý của bạn là gì khi " phát triển nhanh hơn bất kỳ hàm số mũ nào với cơ sở là 2". nhưng có vẻ như bạn muốn nói gì đó chung chung hơn. Tôi đoán là câu lệnh của bạn áp dụng cho một cái gì đó như , trong đó bạn nhân cơ sở với một hằng số, trái ngược với trong đó bạn nhân số theo cấp số nhân với hằng số. $3^n$ $2^n = o(3^n)$ $O(3^n)$ $2^{O(n)}$

— SamM
nguồn

8

phát triển nhanh hơn bất kỳ hàm số mũ nào với cơ sở là . $3^n$ $2$

Thật. Điều này ngụ ý rằng không thể đúng. Nhưng những gì bạn có ở đây là . $3^n = O(2^n)$ $2^{O(n)}$

Nhớ lại rằng thực sự là một tập hợp các hàm, và nói đúng chúng ta nên viết (hoặc thậm chí ). Phía bên tay phải không phải là hàm mũ của hàm, mà là hàm mũ của một tập hợp các hàm. Mở rộng định nghĩa của oh lớn: $O(f(n))$ $3^n \in 2^{O(n)}$ $(n \mapsto 3^n) \in 2^{O(n \mapsto n)}$

2^{O (n)} = 2^{{f ∣ \exists N, \exists p, \forall n \geq N, f (n) \leq p n}} = {(n \mapsto 2^{f (n)}) ∣ \exists N, \exists p, \forall n \geq N, f (n) \leq p n}

$2^{O(n)} = 2^{\{f \;\mid\; \exists N, \exists p, \forall n \ge N, f(n) \le p n\}} = \{(n \mapsto 2^{f(n)}) \mid \exists N, \exists p, \forall n \ge N, f(n) \le p n\}$

Vì hàm số mũ đang tăng, nên chúng ta có thể loại bỏ bất đẳng thức ra khỏi hàm mũ: $n \mapsto 2^n$

2^{O (n)} = {g ∣ \exists N, \exists p, \forall n \geq N, g (n) \leq 2^{p n}}

$2^{O(n)} = \{g \mid \exists N, \exists p, \forall n \ge N, g(n) \le 2^{p \, n}\}$

Ngược lại với

O (2^{n}) = {g ∣ \exists N, \exists k, \forall n \geq N, g (n) \leq k 2^{n}}

$O(2^n) = \{g \mid \exists N, \exists k, \forall n \ge N, g(n) \le k \, 2^{n}\}$

$2^{O(n)}$ $O(2^n)$ $2^{p \, n} = 2^p 2^n$ $n \ge 0$ $3^n \le 2^{\log_2 3} 2^n$ $N = 0$ $p = \log_2 3$ $3^n \in 2^{O(n)}$

— Gilles 'SO- ngừng là ác'
nguồn

4

$3^n=2^{O(n)}$ $O(n)$

$3^n < 2^{kn}$ $\log_2$

$n\log_2(3^n) < kn\log_2(2)$

$k > \log_2(3)$

$2^{kn}$ $3^n \iff k > \log_2(3)$

— Bartosz Przybylski
nguồn