Đóng các ngôn ngữ thông thường được đóng theo các hoạt động cắt nhất định

Đặt là một hàm số nguyên. Đối với ngôn ngữ , xác định$f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$L$

$$f(L) = \{w \mid \exists x : |x| = f(|w|) \text{ and } wx \in L\}$$

Ví dụ: nếu thì đây chỉ là thao tác "giảm một nửa" và các ngôn ngữ thông thường được biết là bị đóng theo điều này - chỉ cần đồng thời đi về phía trước và lùi lại (trong đó bước đi ngược lại thử tất cả các đường có thể, như trong việc xây dựng tập hợp con).$f(n) = n$

Theo HMU, các ngôn ngữ thông thường cũng bị đóng theo các chức năng . Có thể dễ dàng nhìn thấy trong , hoặc bất kỳ hàm tuyến tính nào cho vấn đề đó - chỉ cần lùi về phía sau với bất kỳ tốc độ nào. Làm thế nào điều này có thể được thực hiện cho hoặc ? Có vẻ không khả thi khi chỉ tăng tốc độ, vì điều đó sẽ yêu cầu ghi nhớ số bước thực hiện cho đến nay.$2n, n^2, 2^n$$2n$$n^2$$2^n$

Ngoài ra, chúng ta có thể điều chỉnh giải pháp để có được một số điều kiện đủ chung mà có thuộc tính này không? (Tôi nghi ngờ có những điều kiện cần và đủ, nhưng rất thích được chứng minh là sai)$f$

Hãy DFA cho . Đối với mọi trạng thái , được biết rằng là tập hợp định kỳ cuối cùng. Trong các điều khoản này, chúng tôi có Một vài đối số đơn giản cho thấy có thể được chấp nhận (tập hợp các ngôn ngữ thông thường được đóng dưới ) nếu với mỗi mô-đun , có DFA trên bảng chữ cái mà "tính toán"$\langle Q,q_0,F,\delta \rangle$$L$$q \in Q$

$$N_q = \{ n : \delta(q,x) \in F \text{ for some $|x|=n$} \}$$ $$f(L) = \bigcup_{q \in Q} \{ w : \delta(q_0,w) = q \text{ and } |w|+f(|w|) \in N_q\}.$$ $f$$f$$m$$\langle Q',q'_0,\delta' \rangle$$\{0\}$$|w|+f(|w|) \bmod m$, theo nghĩa là trên đầu vào , bạn có thể khôi phục từ . Đến lượt nó, điều này xảy ra nếu với mọi mô-đun , ánh xạ hàm đến cuối cùng là định kỳ. Vì bản thân là định kỳ, nên chúng tôi kết luận rằng:$0^n$$n+f(n) \bmod{m}$$\delta'(q'_0,0^n)$$m$$n$$n+f(n) \bmod{m}$$n \bmod{m}$

Hàm được chấp nhận iff cho tất cả , hàm cuối cùng là định kỳ.$f$$m$$\psi_{f,m}(n) = f(n) \bmod{m}$

Định lý còn lại của Trung Quốc cho thấy rằng nó đủ để xem xét các giá trị của là các quyền lực chính.$m$

Tất cả các đa thức đều được chấp nhận rõ ràng: nếu là đa thức, thì có chu kỳ . Các hàm số mũ cũng được chấp nhận: nếu , thì , trong trường hợp này cuối cùng là 0, hoặc , trong trường hợp đó Euler's công thức cho thấy có .$f$$\psi_{f,m}$$m$$a^n$$m=p^k$$p \mid a$$\psi_{f,m}$$(p,a)=1$$\psi_{f,m}$$\varphi(m)$

Tôi không chắc liệu tập hợp các chức năng được chấp nhận có thể được mô tả thêm nữa hay không - đây là một hướng nghiên cứu thú vị.