Vấn đề về chức năng và

Tôi thấy khó tìm các định nghĩa chính thức của các lớp phức tạp chức năng. Đây là hai từ Wikipedia.

Một mối quan hệ nhị phân $P(x,y)$là trong FP khi và chỉ khi có một thuật toán thời gian đa thức xác định mà, được đưa ra$x$, có thể tìm thấy một số $y$ như vậy mà $P(x,y)$ giữ

Định nghĩa trên dường như ngụ ý rằng đối với tất cả các mối quan hệ trong FP, nó giữ điều đó cho mọi$x$ tồn tại ít nhất một $y$ mà chiều dài của nó là đa thức theo chiều dài của $x$. Tuy nhiên, dường như không hạn chế rằng có tồn tại nhiều hơn$y$ cho rằng $x$ vậy nên $P(x,y)$ giữ trong khi $y$ dài hơn theo cấp số nhân $x$.

Một mối quan hệ nhị phân $P(x,y)$, Ở đâu $y$ dài nhất là đa thức hơn $x$, nằm trong FNP khi và chỉ khi có thuật toán thời gian đa thức xác định có thể xác định xem$P(x,y)$ giữ cho cả hai $x$ và $y$.

Định nghĩa này ngụ ý rằng đối với mối quan hệ trong FNP , không cần phải đúng là có tồn tại ít nhất một$y$ Cho mọi $x$ vậy nên $P(x,y)$giữ Nó ngụ ý tuy nhiên nếu$P(x,y)$ giữ, $y$ phải dài nhất là đa thức hơn $x$.

Trong văn học, người ta có thể đọc rằng FP $\subseteq$ FNP . Theo như tôi hiểu (hoặc không) hiểu thì điều này không thể đúng. Có thể là đối với một số mối quan hệ$R(x,y) \in$ FP tồn tại một$(x,y)$ vậy nên $R(x,y)$ giữ và $y$ dài hơn theo cấp số nhân $x$. Do đó, mối quan hệ này không thuộc về FNP và do đó, FP $\not\subseteq$ FNP .

Các định nghĩa trên Wikipedia không đầy đủ? Tui bỏ lỡ điều gì vậy?

Dù bằng cách nào, một số nguồn tốt để đọc về các vấn đề chức năng (tôi thấy mình hiểu biết về các vấn đề quyết định) là gì?

Tôi đã tìm thấy những điều sau đây trong cuốn sách Tính phức tạp tính toán của Papadimitriou mà tôi thấy thỏa mãn.

Đặt là quan hệ nhị phân trên các chuỗi.$R \subseteq \Sigma^* \times \Sigma^*$

$R$ được gọi là đa thức quyết định nếu có Máy Turing xác định quyết định ngôn ngữ trong thời gian đa thức.$\{x;y : (x,y) \in R\}$

Chúng ta nói rằng là đa thức cân nếu ngụ ý đối với một số .$R$$(x,y) \in R$$|y| \leq |x|^k$$k \geq 1$

Sau đó Papadimitriou lưu ý những điều sau, về cơ bản là một định nghĩa khác cho NP :

Đặt là ngôn ngữ. NP khi và chỉ khi có mối quan hệ cân bằng đa thức và cân bằng đa thức , sao cho đối với một số .$L \subseteq \Sigma^*$$L \in$ $R$$L = \{x : (x,y) \in R$$y \}$

Vài chục trang sau ...

Các vấn đề chức năng kết hợp với [ NP ], ký hiệu là [ở đây là viết tắt của ngôn ngữ nói, không logspace], là vấn đề tính toán như sau:$L$$\in$ $FL$$L$

Cho , tìm một chuỗi sao cho nếu một chuỗi đó tồn tại; nếu không có chuỗi như vậy tồn tại, trả về "không".$x$$y$$R_L(x,y)$

Sau đó

Lớp của tất cả các vấn đề chức năng liên quan như trên với các ngôn ngữ trong NP được gọi là FNP . FP là lớp con kết quả nếu chúng ta chỉ xem xét các vấn đề chức năng trong FNP có thể được giải quyết trong thời gian đa thức.

Hãy quên các định nghĩa Wikipedia và đưa ra ý kiến ​​của chúng ta.

Hàm nằm trong nếu có máy Turing đa thời gian trên đầu vào đầu ra .$f$$\mathsf{FP}$$x$$f(x)$

Hàm nằm trong if:$f$$\mathsf{FNP^\ast}$

1. Hàm bị giới hạn đa thức: tồn tại một đa thức sao cho .$f$$p$$|f(x)| \leq p(|x|)$

2. Có một máy Turing đa thời gian cho xác định xem .$x,y$$f(x)=y$

Nếu nằm trong thì nó chắc chắn bị giới hạn đa thức. Vì chúng ta có thể tính trong thời gian đa thức, cho chúng ta có thể tính và so sánh nó với , tất cả đều theo thời gian đa thức.$f$$\mathsf{FP}$$f(x)$$x,y$$f(x)$$y$

Tham khảo sở thú phức tạp , có vẻ như thực sự có một định nghĩa khác và có hai định nghĩa khác nhau và không tương thích, một trong số đó là định nghĩa đã nêu ở trên.$\mathsf{FNP}$$\mathsf{FP}$

Tôi muốn thêm một bộ định nghĩa khác từ Automata, Tính toán và Độ phức tạp của Elaine Rich.

The Class FP : Một mối quan hệ nhị phân là trong iff có một đa thức thuật toán thời gian xác định rằng, cho một đầu vào tùy ý , có thể tìm thấy một số như vậy .$Q$$\mathsf{FP}$$x$$y$$(x,y) \in Q$

The Class FNP : Một mối quan hệ nhị phân là trong iff có một thời gian đa thức xác định xác minh, đưa ra một cặp đầu vào tùy ý , sẽ xác định xem . Tương tự, nằm trong iff có một thuật toán thời gian đa thức không xác định, với một đầu vào tùy ý , có thể tìm thấy một số sao cho$Q$$\mathsf{FNP}$$(x,y)$$(x,y) \in Q$$Q$$\mathsf{FNP}$$x$$y$$(x,y) \in Q$

Điều này chỉ khác một chút so với các định nghĩa được tìm thấy trên Wikipedia nhưng dù sao chúng cũng ngụ ý những điều khác nhau. Quan trọng nhất, Elaine Giàu định nghĩa của cô không có nghĩa là nếu , có là đa thức trong . Có vẻ như các định nghĩa wiki là bản sao cẩu thả của chúng.$\mathsf{FNP}$$(x,y) \in Q$$y$ $x$

Từ các định nghĩa này, rõ ràng hơn là .$\mathsf{FP} \subseteq \mathsf{TFNP} \subseteq \mathsf{FNP}$