Một tập hợp con của một vấn đề NP-đầy đủ có thể được trong P?

Vấn đề là NP-đầy đủ (đã được chứng minh) cho tất cả dữ liệu đầu vào (không có ngoại lệ).

Chúng tôi giả sử rằng P! = NP.

Có thể có một tập hợp con (vô cùng lớn) của vấn đề, mà tập hợp con này nằm trong P không?

Câu hỏi lý thuyết.

Câu hỏi của bạn không có ý nghĩa:

Vấn đề là NP-đầy đủ (đã được chứng minh) cho tất cả dữ liệu đầu vào (không có ngoại lệ).

Đây không phải là một điều. Tính đầy đủ NP là một thuộc tính của toàn bộ các bộ, không phải của các đầu vào cụ thể. Thật là tầm thường khi chỉ ra rằng, nếu bạn chọn một đầu vào cụ thể, bất kỳ vấn đề nào là trên đầu vào đó: bạn chỉ cần xuất có hoặc không, tùy thuộc vào đầu vào nào là đúng. Khi bạn làm điều này, tất cả các phân tích thuật toán bị phá vỡ và mọi thứ kết thúc vô dụng. Vì vậy, chúng tôi không làm điều này.$O(1)$

$P$ , , hoàn chỉnh, thời gian đa thức, v.v ... đều liên quan đến độ phức tạp tiệm cận : khi kích thước của đầu vào tăng lên, thời gian chạy tăng trưởng như thế nào? Điều này chỉ có ý nghĩa khi bạn nhìn qua các đầu vào khác nhau, giống như cách tính đạo hàm của một điểm trong phép tính là một thuộc tính có tính đến đường cong xung quanh điểm đó.$NP$$NP$

Chúng tôi giả sử rằng P! = NP.

Một lần nữa, điều này không ảnh hưởng đến câu trả lời của bạn. Nếu , sau đó mỗi set là -complete, ^* do đó là một loạt các tập con trong . Và nếu , các ví dụ mà mọi người đã đưa ra đều hợp lệ.$P = NP$$P$$NP$$P$$P=NP$

Có thể có một tập hợp con của vấn đề (vô cùng lớn), rằng vấn đề này nằm ở P?

Vâng, và các câu trả lời khác đã đưa ra ví dụ tuyệt vời về điều này. Nhưng đối với hậu thế, đây là một ví dụ khác.

• $k$ -coloring là -complete nếu bạn mất như là đầu vào, nhưng -coloring là một tập hợp con vô hạn của việc này đó là trong .$NP$$k$$2$$P$

^{* Ngoại trừ và , không phải là -complete vì lý do kỹ thuật liên quan đến hình thức cắt giảm mà chúng tôi sử dụng để xác định tính đầy đủ.$\emptyset$$\Sigma^*$$NP$}

Trên thực tế, bạn không cần giả thuyết P NP$\,\neq\,$ , vì thậm chí còn có các tập hợp con có thể quyết định theo thời gian vô hạn của các vấn đề NP -complete. Đối với mọi ngôn ngữ NP -complete , hãy để .  vẫn là NP -complete (giảm tầm thường từ  ), nhưng nó chứa tập hợp con có thể quyết định thời gian không đổi vô hạn của tất cả các chuỗi bắt đầu bằng  .$L\subseteq\{0,1\}^*$$L' = \{0w\mid w\in L\}\cup\{1w\mid w\in\{0,1\}^*\}$$L'$$L$$1$

Theo tôi hiểu câu hỏi của bạn, vâng, điều này là có thể. Ví dụ, xem xét tập hợp con (vô cùng lớn) của SAT có chứa tất cả các công thức thỏa đáng không có phủ định. Tập hợp con này là tầm thường trong P.

Lấy ví dụ về vấn đề , nói chung là , nhưng đối với cây (có vô số) nó nằm trong$\mathsf{3\text{-}Coloring}$$\mathsf{NP\text{-}Complete}$$\mathsf{P\text{}}$

Tô màu đồ thị, cụm tối đa và tập độc lập tối đa là -complete (phiên bản quyết định), nhưng đa thức trên đồ thị hoàn hảo.$\mathcal{NP}$

Hãy xem vấn đề Nhân viên bán hàng du lịch: Cho là n thành phố và khoảng cách giữa mỗi cặp thành phố và giới hạn d. Có một tuyến đường chạm vào mỗi thành phố một lần và sau đó quay trở lại điểm xuất phát với tổng chiều dài ≤ d?

Đối với bất kỳ tập hợp thành phố và khoảng cách nào, đối với các giá trị nhỏ của d ("nhỏ" tùy thuộc vào khoảng cách), sẽ dễ dàng cho thấy rằng không có giải pháp và đối với các giá trị lớn của d, rất dễ tìm ra giải pháp. Vì vậy, bạn có thể tìm thấy một tập hợp con của vấn đề trong đó d đủ lớn hoặc nhỏ, nơi bạn có thể giải quyết bất kỳ trường hợp nào trong thời gian đa thức.