Ví dụ về các bộ quy nạp không phải là điểm cố định nhỏ nhất và lớn nhất

Có tồn tại một tập hợp các quy tắc quy nạp và một điểm cố định của các quy tắc này nhưng không phải là điểm cố định ít nhất cũng không phải là điểm cố định lớn nhất?

logic inductive-datatypes

— năm 2014
nguồn

Đây là một ví dụ không tầm thường:

Giả sử chúng ta muốn xác định một cách tự nhiên một tập hợp con của các số thực, vì vậy chúng ta làm việc trên mạng hoàn chỉnh $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ ra lệnh bằng cách đưa vào.

Sau đó, xem xét các quy tắc

\frac{}{0} \frac{x}{x + 1}

$\dfrac{\qquad}{0} \qquad \dfrac{x}{x+1}$ Điều này gây ra chức năng (đơn điệu, Scott-liên tục)

f : P (R) \to P (R)

$f : \mathcal{P}(\mathbb{R}) \to \mathcal{P}(\mathbb{R})$ được cho bởi

f (X) = = {0} \cup {x + 1 | x \in X}

$f(X) = \{0\} \cup \{ x+1 \ |\ x\in X\}$

Tất cả những điều sau đây là điểm cố định của $f$ :

$\mathbb{N}$ (ít nhất)
$\mathbb{Z}$
$\{x/2 \ |\ x\in \mathbb{Z}\}$
$\{x/3 \ |\ x\in \mathbb{Z}\}$
Vân vân.
cho bất kỳ tự nhiên $k \geq 1$ , bộ $\{x/k \ |\ x\in \mathbb{Z} \}$
$\mathbb{Q}$
$\mathbb{R}$ (vĩ đại nhất)

Nếu chúng ta muốn định nghĩa của chúng ta được hình thành tốt, ngoài việc chỉ định các quy tắc, chúng ta cần chọn ra một trong những điểm cố định. Điều này thường được thực hiện bằng cách lấy ít nhất (cảm ứng) hoặc lớn nhất (cưỡng chế).

— chi
nguồn

Một nit nhỏ, nhưng không chỉ định ít nhất / lớn nhất hoặc một số thuộc tính khác để chọn ra tập hợp con thích hợp, điều này không tự định nghĩa một tập hợp con của các thực.

— Derek Elkins rời SE

@DerekElkins Đồng ý. Tôi đã thêm một lưu ý về điều đó.

— chi

@DerekElkins Câu trả lời không cho rằng nó định nghĩa bất cứ điều gì. Nó nói rằng giả sử rằng chúng ta muốn xác định một cái gì đó, đưa ra một số quy tắc và nói rằng những quy tắc đó có cả đống điểm cố định.

— David Richerby

@DavidR Richby Thật vậy, đó là ý định của tôi. Tuy nhiên, tôi có thể thấy rằng có thể đọc một chút ngoài những gì tôi đã viết, vì vậy tôi đã thêm một ghi chú cuối cùng.

— chi

@ thbl2012 Điểm cố định lớn nhất rất nhạy cảm với sự lựa chọn của mạng hoàn chỉnh mà bạn làm việc. Ở đây, tôi bắt đầu với

R

$\mathbb{R}$ là yếu tố hàng đầu của mạng tinh thể của tôi, nhưng tôi có thể đã chọn ví dụ

Q

$\mathbb{Q}$ hoặc là

C

$\mathbb{C}$ . Một lựa chọn phổ biến khác đó là tập hợp các ứng dụng biểu tượng hữu hạn hoặc vô hạn của các ocnstructor, trong đó, như bạn nói, bạn có điểm cố định lớn nhất

N \cup {\infty}

$\mathbb{N} \cup \{\infty\}$ Ở đâu

\infty

$\infty$ ở đây đại diện cho người kế thừa được áp dụng trên chính nó vô số lần. Do đó, giáo sư của bạn là hoàn toàn chính xác, ông chỉ cần chọn một mạng hoàn chỉnh khác.

— chi

Bất kỳ tập hợp nào là một điểm cố định của tập hợp quy tắc trống hoặc quy tắc tầm thường $x\in X\Rightarrow x\in X$ .

— David Richerby
nguồn