Sự tương đương giữa hai định nghĩa về chiều rộng cây

Cây thông :

1) Theo đồ thị hợp âm : kích thước của cụm lớn nhất$(\omega (G))$- 1 trong một hoàn chordal của đồ thị .$G$

2) Bằng cách phân hủy cây :

Một phân tách cây bao gồm một cây (trên một nút khác được đặt từ ) và một tập hợp con liên kết với mỗi nút$G = (V , E)$$T$$G$$V_t ⊆ V$$t$ của $T$. (Chúng tôi sẽ gọi những tập hợp con này$V_t$ các mảnh ghép của người Viking về sự phân hủy của cây.) Đôi khi chúng ta sẽ viết đây là cặp theo thứ tự $(T , {V_t : t ∈ T })$. Cây T và bộ sưu tập các mảnh$\{V_t : t ∈ T \}$ phải thỏa mãn ba tính chất sau

(Bảo hiểm nút) Mỗi nút của$G$ thuộc về ít nhất một mảnh $V_t$.

(Bảo hiểm cạnh) Đối với mọi cạnh$e$ của $G$, có một số phần $V_t$ chứa cả hai đầu của $e$.

(Kết hợp) Hãy$t_1, t_2,$ và $t_3$ là ba nút của $T$ như vậy mà $t_2$ nằm trên con đường từ $t_1$ đến $t_3$. Sau đó, nếu một nút$v$ của $G$ thuộc về cả hai $V_{t_{1}}$ và $V_{t_{3}}$, nó cũng thuộc về $V_{t_2}$

Vì vậy, chúng tôi xác định chiều rộng của một phân hủy cây $(T , {V_t })$ nhỏ hơn kích thước tối đa của bất kỳ mảnh nào $V_t$ (trên tất cả $t$):

Yêu cầu 1: Nếu kích thước của cụm lớn nhất trong phân tách hợp âm của đồ thị được nói $k$ sau đó bằng cách phân hủy cây, chúng ta sẽ có được chiều rộng của cây $k$

Bằng chứng: chúng ta hãy giả sử rằng kích thước cụm lớn nhất trong biểu đồ hoàn thành hợp âm là$k$, do đó, tồn tại một túi (tập hợp các đỉnh của đồ thị) có chứa cụm (do độ bao phủ cạnh). vậy là xong

Yêu cầu 2 : Nếu chiều rộng cây là$k$ bằng phương pháp phân rã cây thì bằng phương pháp hoàn thành hợp âm cũng là $k$

Câu hỏi: Làm thế nào để chứng minh yêu cầu 2? Bằng chứng cấp cao sẽ được hoan nghênh.

Trước tiên, tôi xin lưu ý rằng khiếu nại, như đã nêu trong câu hỏi, là sai: Hãy xem xét biểu đồ sau:

$\begin{matrix} & & 2& - & 3\\ & \diagup\\ 1 & & | & & |\\ & \diagdown \\ & &4 &-& 5 \end{matrix}$

Đồ thị hoàn chỉnh trên $5$đỉnh là sự hoàn thành hợp âm của đồ thị này. Tuy nhiên, biểu đồ này có treewidth$2$. (Một phân tách là$\{1,2,4\}$, $\{2,3,4\}$, $\{3,4,5\}$ )

Yêu cầu đúng là

Treewidth của $G$ của là kích thước của cụm lớn nhất $\omega(G) - 1$trong một sự hoàn thành hợp âm với cụm lớn nhất tối thiểu của đồ thị$G$.

Bây giờ, một bằng chứng như sau: nếu treewidth của $G$ bởi sự phân hủy cây là $k$, sau đó mỗi phân hủy cây có một túi kích thước ít nhất $k$. Chúng tôi sử dụng khái niệm biểu đồ phân tách từ một bài báo của Parra và Scheffler , đặc biệt là thực tế là mọi cụm cực đại trong biểu đồ phân cách của$G$ là một sự phân hủy cây $G$ (Điều này có thể được nhìn thấy bằng cách so sánh định nghĩa phân hủy cây với những gì trong bài báo)

Sau đó, theo Định lý 4.7$^*$ từ cùng một tờ giấy, mỗi lần hoàn thành hợp âm tối thiểu $G$có tất cả các túi của một số phân hủy cây như một cụm. Điều này có nghĩa là mọi sự hoàn thành hợp âm tối thiểu của$G$ có một kích thước $k$, vì vậy phương thức hoàn thành hợp âm cũng cho chiều rộng của cây là $k$. $\square$

*: Paraphrased trong ký hiệu của chúng tôi, Định lý 4.7 nêu:

Một đồ thị $H$ là một sự hoàn thành hợp âm tối thiểu của $G$ nếu và chỉ nếu $H$ là đồ thị $G$ với chính xác các cạnh được thêm vào sao cho tất cả các đỉnh đặt trong $\mathcal{S}$là những bè phái. Đây$\mathcal{S}$ là một cụm tối đa trong biểu đồ phân tách, bao gồm các phân cách tối thiểu của $G$.

Tôi đã cố gắng tìm một bằng chứng chỉ sử dụng các kỹ thuật cơ bản, nhưng tôi không nghĩ rằng một bằng chứng dễ dàng mà không có bất kỳ lý thuyết sâu sắc nào sẽ dễ dàng tìm thấy.