Một không gian số liệu thú vị liên quan đến máy Turing

Trong câu hỏi này, chúng tôi chỉ xem xét các máy Turing tạm dừng trên tất cả các đầu vào. Nếu thì bằng T k, chúng ta biểu thị máy Turing có mã là k .$k \in \mathbb{N}$$T_k$$k$

Hãy xem xét các chức năng sau đây

Nói cách khác, là mã của máy Turing nhỏ nhất nhận ra chính xác một trong các chuỗi x , y . Bây giờ chúng ta có thể xác định bản đồ sau$s(x,y)$$x,y.$

Nó có thể nhanh chóng xác minh rằng gây ra một không gian metric (thực chất là một ultrametrics) trên Σ *$d(x,y)$$\Sigma^{*}.$

Bây giờ tôi muốn chứng minh rằng nếu là một thống nhất liên tục chức năng sau đó cho mọi ngôn ngữ L đệ quy, f - 1 ( L ) là đệ quy là tốt.$f:\Sigma^{*} \mapsto \Sigma^{*}$$f^{-1}(L)$

Nói cách khác chúng ta hãy là một bản đồ như vậy mà cho mỗi ε > 0 có một δ > 0 như vậy mà nếu cho chuỗi x , y ∈ Σ $f$$\epsilon > 0$$\delta > 0$$x,y \in \Sigma^{*}$ sau đó d ( f ( x ) , f ( y ) ) < ε . Sau đó, chúng ta cần chỉ ra rằng f - 1 ( L ) là một ngôn ngữ đệ quy cho rằng L là đệ quy.

Bây giờ như đã nêu trong này bài một cách để tiếp cận vấn đề là để cho thấy rằng có một máy Turing mà đưa ra một chuỗi Tính f ( x ) $x \in \Sigma^{*}$$f(x).$

Tôi bị mắc kẹt trong việc chứng minh tuyên bố này và từ từ tự hỏi liệu có một số cách tiếp cận khác để giải quyết vấn đề này?

Gợi ý, đề xuất và giải pháp được chào đón!

Chỉnh sửa: loại bỏ gợi ý, đăng giải pháp của tôi.

Đây là giải pháp của tôi. Chúng ta sẽ chọn một điểm tham chiếu nơi f ( x ) ∈ L và xem xét vũ trụ từ x và f ( x ) 's quan điểm. Nó chỉ ra rằng mọi "vùng lân cận" của một điểm tương ứng với một ngôn ngữ đệ quy. Vì vậy, L là một vùng lân cận xung quanh f ( x ) và sẽ có một vùng lân cận xung quanh x ánh xạ tới nó; khu phố này là một ngôn ngữ đệ quy.$x$$f(x) \in L$$x$$f(x)$$L$$f(x)$$x$

Bổ đề. Trong không gian này, một ngôn ngữ được đệ quy khi và chỉ khi nó là một vùng lân cận của mỗi chuỗi của nó.

Bằng chứng . Thứ nhất, sửa chữa một ngôn ngữ đệ quy và để cho x ∈ L . Hãy K là chỉ số tối thiểu của một người quyết định cho L . Sau đó, chúng tôi có mà nếu y ∉ L , s ( x , y ) ≤ K , do đó d ( x , y ) ≥ 1 / 2 K . Do đó d ( x , y ) < 1 / 2 K ngụ ý rằng y $L$$x \in L$$K$$L$$y \not \in L$$s(x,y) \leq K$$d(x,y) \geq 1/2^K$$d(x,y) < 1/2^K$ .$y \in L$

Thứ hai, chúng ta hãy là một chuỗi tùy ý và sửa chữa ε > 0 ; hãy K = ⌊ log ( 1 / ε ) ⌋ . Đặt L K = { y : d ( x , y ) < ε } ; thì L K = { y : s ( x , y ) > K } . Sau đó chúng ta có thể viết$x$$\varepsilon > 0$$K = \lfloor \log(1/\varepsilon) \rfloor$$L_K = \{y : d(x,y) < \varepsilon\}$$L_K = \{y : s(x,y) > K\}$

Nhưng có thể quyết định: Trên đầu vào y , người ta có thể mô phỏng các bộ giải K đầu tiên trên x và y và chấp nhận nếu và chỉ khi mỗi cái chấp nhận cả hai hoặc từ chối cả hai. $L_K$$y$$K$$x$$y$$~\square$

Bây giờ chúng ta gần xong rồi:

Prop. Cho liên tục. Nếu L là đệ quy thì f - 1 ( L ) là đệ quy.$f$$L$$f^{-1}(L)$

Bằng chứng. Theo chức năng liên tục, tiền đề của một khu phố là một khu phố.

Điều thú vị là, tôi nghĩ rằng trong không gian này một hàm liên tục là thống nhất liên tục: Hãy là liên tục, vì vậy cho mỗi điểm x , đối với mỗi ε tồn tại một tương ứng δ . Fix một ε và để cho K = ⌊ log ( 1 / ε ) ⌋ . Có một số hữu hạn các quả bóng kích thước ε : có L ( T 1 ) ∪ L ( T 2 ) ⋯ ∪ L ( T K ) ; sau đó có$f$$x$$\varepsilon$$\delta$$\varepsilon$$K = \lfloor \log(1/\varepsilon) \rfloor$$\varepsilon$$L(T_1) \cup L(T_2) \dots \cup L(T_K)$; sau đóL(T1)∪ ¯ L ( T 2 ) ⋯∪L(TK), và vân vân. fliên kết với mỗi ngôn ngữ nàyLimột ngôn ngữ tiền thânL ′ i với đường kính liên kếtδi. Đối với mỗi$\overline{L(T_1)} \cup L(T_2) \dots \cup L(T_K)$$L(T_1) \cup \overline{L(T_2)} \dots \cup L(T_K)$$f$$L_i$$L_i^{\prime}$$\delta_i$ , d ( x , y ) ≤ delta $x \in L_i^{\prime}$ . Vì vậy, chúng ta có thể lấy tối thiểu trên những hữu hạn nhiều δ s để có được những bộ đồng phục liên tục liên tục δ liên quan với điều này ε .$d(x,y) \leq \delta_i \implies d(f(x),f(y)) \leq \varepsilon$$\delta$$\delta$$\varepsilon$