Tại sao các máy Turing tuyến tính mạnh mẽ hơn Máy tự động trạng thái hữu hạn?

Tôi có ấn tượng rằng các máy tính của chúng ta, là hữu hạn, cuối cùng không mạnh hơn các máy trạng thái hữu hạn (cực kỳ lớn). Tuy nhiên, Máy Turing tuyến tính cũng rất hữu hạn, nhưng có vẻ như Ngôn ngữ thông thường hoàn toàn là một tập hợp con không đúng của Ngôn ngữ nhạy cảm ngữ cảnh.

Rõ ràng, tôi đang thiếu một cái gì đó ở đây. Chuyện gì đang xảy ra vậy?

finite-automata computation-models linear-bounded-automata

— Bến I.
nguồn

Câu trả lời:

Máy Turing giới hạn tuyến tính được giới hạn trong một băng có chiều dài là hàm tuyến tính theo chiều dài của đầu vào.

Nếu giới hạn độ dài là một hằng số, thì máy sẽ không mạnh hơn DFA. Tuy nhiên, DFA không thể phát triển nhiều trạng thái hơn để đối phó với đầu vào dài hơn, điều này có hiệu lực mà LBTM có thể làm (lấy trạng thái làm toàn bộ cấu hình máy.) Vì vậy, LBTM mạnh hơn rất nhiều.

— rici
nguồn

Có một kết quả thú vị liên quan đến điều này. Bất kỳ máy Turing nào chạy trong không gian chấp nhận ngôn ngữ thông thường.

o (\log \log n)

$o(\log \log n)$

— skankhunt42

@ skankhunt42, tại sao vậy?

— Ben I.

@ skankhunt42: Sửa lỗi cho tôi nếu tôi sai, nhưng bất kỳ TM nào chạy trong không gian phải chạy trong thời gian. Nhưng không khó để chỉ ra rằng bất kỳ TM nào chạy trong thời gian quyết định một ngôn ngữ cũng có thể được quyết định trong thời gian . Sau đó, có một số hằng số sao cho các ký tự đầu tiên của đầu vào xác định xem đầu vào có trong ngôn ngữ hay không. Nhưng sau đó, ngôn ngữ rõ ràng là thông thường: chỉ bao gồm một trạng thái cho mỗi tiền tố trong . Tui bỏ lỡ điều gì vậy? Lỗi của tôi ở đâu?

k \log \log n

$k \log \log n$

2^{k \log \log n} = 2^{\log (\log^{k} n)} = \log^{k} n

$2^{k \log \log n} = 2^{\log (\log^k n)} = \log^k n$

o (n)

$o(n)$

O (1)

$\mathcal O(1)$

c \in N

$c \in \mathbb N$

c

$c$

⋃_{0 \leq i \leq c} {0, 1}^{i}

$\bigcup_{0 \leq i \leq c} \{ 0, 1 \}^i$

— wchargein

@Choirbean Nó yêu cầu một bằng chứng sử dụng trình tự chéo. Bạn có thể tra cứu tại đây cs.stackexchange.com/questions/7372/ .

— skankhunt42

@wchargein Tôi nghĩ rằng lỗi có thể cho rằng TM chạy trong thời gian vì bạn cũng cần xem xét vị trí đầu của băng đầu vào trong khi đếm số lượng cấu hình. Vì vậy, tôi nghĩ rằng TM chạy trong thời gian .

2^{k \log \log n}

$2^{k \log \log n}$

n 2^{k \log \log n}

$n 2^{k \log \log n}$

— skankhunt42

Tôi nghĩ rằng trước tiên chúng ta phải hiểu mô tả của một máy và kích thước đầu vào, để việc so sánh chỉ là các đối tượng hợp lệ. Giả sử N là kích thước đầu vào. Điều này có nghĩa là máy móc sẽ có những giới hạn tài nguyên.

\begin{array}{lll} Resource & Finite Automata: A & LBTM: M \\ Input Tape Size & O (N) & O (N) \\ Tape Operations & Read Only & Read, Write \\ Tape Movement & Left to right, One pass only & Both directions, No pass limit \\ # of Locations (States) & M & M \\ Input Alphabet & Σ & Σ \\ Acceptance Condition & Reach finite location: ℓ_{f} & Reach finite location: ℓ_{f} \end{array}

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline \mbox{Resource} & \mbox{Finite Automata:}\quad \mathcal{A} & \mbox{LBTM:} \quad \mathcal{M}\\ \hline \mbox{Input Tape Size} & O(N) & O(N)\\ \mbox{Tape Operations} & \mbox{Read Only}& \mbox{Read, Write}\\ \mbox{Tape Movement} & \mbox{Left to right, One pass only}& \mbox{Both directions, No pass limit}\\ \mbox{# of Locations (States)} & M & M\\ \mbox{Input Alphabet} & \Sigma & \Sigma\\ \mbox{Acceptance Condition} & \mbox{Reach finite location: }\ell_f & \mbox{Reach finite location: }\ell_f\\ \hline \end{array}$

Bây giờ, ở đây có ý nghĩa hơn . Điều đó đơn giản là vì chuyển động và hạn chế băng bị giới hạn cho . $\mathcal{M}$ $\mathcal{A}$ $\mathcal{A}$

Bây giờ hãy làm một so sánh không hợp lệ .

\begin{array}{lll} Resource & Finite Automata: A^{'} & LBTM: M \\ Input Tape Size & O (N) & O (N) \\ Tape Operations & Read Only & Read, Write \\ Tape Movement & Left to right, One pass only & Both directions, No pass limit \\ # of Locations (States) & M \times 2^{N} & M \\ Input Alphabet & Σ & Σ \\ Acceptance Condition & Reach finite location: ℓ_{f}^{'} & Reach finite location: ℓ_{f} \end{array}

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline \mbox{Resource} & \mbox{Finite Automata:}\quad \mathcal{A'} & \mbox{LBTM:} \quad \mathcal{M}\\ \hline \mbox{Input Tape Size} & O(N) & O(N)\\ \mbox{Tape Operations} & \mbox{Read Only}& \mbox{Read, Write}\\ \mbox{Tape Movement} & \mbox{Left to right, One pass only}& \mbox{Both directions, No pass limit}\\ \mbox{# of Locations (States)} & M \times 2^N & M\\ \mbox{Input Alphabet} & \Sigma & \Sigma\\ \mbox{Acceptance Condition} & \mbox{Reach finite location: }\ell'_f & \mbox{Reach finite location: }\ell_f\\ \hline \end{array}$

Ở đây và có cùng sức mạnh biểu cảm. Nhưng, lưu ý rằng kích thước của phụ thuộc vào đầu vào theo cách hàm mũ. Kích thước trước đó của không phụ thuộc vào . Điều này có nghĩa là với mọi đầu vào cho , bạn sẽ cần tạo FA mới, mặc dù không thay đổi. $\mathcal{A}'$ $\mathcal{M}$ $\mathcal{A}'$ $N$ $\mathcal{A}$ $N$ $\mathcal{M}$ $\mathcal{M}$

— Devendra Bhave
nguồn