Thuộc tính Myhill-Nerode và đóng cửa

8

Người ta biết rằng các ngôn ngữ thông thường được đặc trưng bởi sự tương đương Myhill-Nerode. Đối với ngôn ngữ $L$ kết thúc $\Sigma^*$ xác định sự tương đương $x\sim_L y$ kết thúc $\Sigma^*$ iff cho tất cả $z\in\Sigma^*$ chúng ta có $xz\in L \iff yz\in L$ . Sau đó $L$ là thường xuyên $\sim_L$ là chỉ số hữu hạn, nghĩa là có số lượng hữu hạn các lớp tương đương.

Tôi biết rằng mối quan hệ có thể được sử dụng để chỉ ra rằng một số ngôn ngữ không thường xuyên, bằng cách chỉ ra vô số chuỗi không tương đương.

Câu hỏi của tôi: chúng ta có thể dễ dàng sử dụng Myhill-Nerode để hiển thị các thuộc tính đóng của các ngôn ngữ thông thường không? Hay chúng ta nên sử dụng "sự phù hợp cú pháp" của các ngôn ngữ?

Như một ví dụ cho tiền tố, nó rất dễ, như $x\sim_L y$ ngụ ý $x\sim_{\mbox{pref}(L)} y$ . Nhưng làm thế nào để chúng ta xử lý hậu tố, nối, ngôi sao, gương?

regular-languages closure-properties

— Hendrik Jan
nguồn

6

Tôi đóng cửa dưới các phép toán boolean với đặc tính MyHill-Nerode. Không bao giờ thấy nó được thực hiện theo cách đó. Một sự phù hợp $\sim$ bão hòa một ngôn ngữ $L$ nếu

u \sim v \Rightarrow (u \in L \leftrightarrow v \in L)

$u \sim v \Rightarrow ( u \in L \leftrightarrow v \in L )$ hoặc tương đương iff

L

$L$ là một liên minh của các lớp đồng quy. Chúng tôi sử dụng:

Định lý: (MyHill-Nerode) Một ngôn ngữ là thường xuyên khi và chỉ khi có sự phù hợp của chỉ số hữu hạn bão hòa $L$ .

Bây giờ giả sử chúng ta có ngôn ngữ thông thường $L_1, L_2 \subseteq X^{\ast}$ và biểu thị $\sim_{L_1}, \sim_{L_2}$ một số đồng đẳng đúng của chỉ số hữu hạn bão hòa chúng. Sau đó

u \sim v :\Leftrightarrow u \sim_{L_{1}} v \land u \sim_{L_{2}} v

$u \sim v :\Leftrightarrow u \sim_{L_1} v \land u \sim_{L_2} v$ là một sự phù hợp đúng (giao điểm của cả hai) và nó tinh chỉnh cả hai. Hơn nữa chúng ta có

[u]_{\sim} = [u]_{\sim_{L_{1}}} \cap [u]_{\sim_{L_{2}}} .

$[u]_{\sim} = [u]_{\sim_{L_1}} \cap [u]_{\sim_{L_2}}.$ Do đó chúng ta có một số lượng hữu hạn các lớp tương đương. Ngoài ra, điều này cho thấy sự giao nhau của các lớp tương đương

[u]_{\sim_{L_{1}}}

$[u]_{\sim_{L_1}}$ và

[v]_{\sim_{L_{2}}}

$[v]_{\sim_{L_2}}$ là trống rỗng, hoặc nó có một yếu tố chung

w

$w$ và do đó bằng với lớp tương đương

[w]_{\sim}

$[w]_{\sim}$ . Điều này mang lại rằng

L_{1} \cap L_{2}

$L_1 \cap L_2$ là trống hoặc có thể được viết là liên kết của lớp tương đương cho

\sim

$\sim$ . Theo định lý trên

L_{1} \cap L_{2}

$L_1 \cap L_2$ là thường xuyên

Dành cho $L_1 \cup L_2$ nó là một tập hợp các lớp tương đương cho $\sim_1$ và $\sim_2$ , đó là các hiệp hội của các lớp tương đương cho $\sim$ , do đó nó cũng thường xuyên. Và để bổ sung, đây là phân vùng các lớp tương đương $X^{\ast}$ , do đó một sự phù hợp làm việc cho $L_1$ cũng làm việc cho $X^{\ast} \setminus L_1$ . $\square$

Nhận xét bổ sung: Trong câu hỏi của bạn, bạn cũng đề cập đến sự phù hợp đúng đắn của Nerode

u \equiv_{L} v :\Leftrightarrow (\forall w \in X^{*} : u w \in L \leftrightarrow v w \in L)

$u \equiv_L v :\Leftrightarrow (\forall w \in X^{\ast} : uw \in L \leftrightarrow vw \in L)$ với

L \subseteq X^{*}

$L \subseteq X^{\ast}$ . Đây là sự bão hòa phải đúng nhất

L

$L$ . Bây giờ có lẽ là điều tự nhiên khi hỏi liệu chúng ta có thể xây dựng sự phù hợp của Nerode không

L_{1} \cap L_{2}

$L_1 \cap L_2$ hoặc là

L_{1} \cup L_{2}

$L_1 \cup L_2$ dễ dàng ra khỏi những cái cho

L_{1}, L_{2}

$L_1, L_2$ hoặc nếu kết quả giao nhau kết quả phát sinh là một số đồng dư quyền Nerode. Có lẽ chúng ta có thể tìm thấy các công thức đơn giản như

u \equiv_{L_{1} \cap L_{2}} v \Leftrightarrow u \equiv_{L_{1}} v \land u \equiv_{L_{2}} v .

$u \equiv_{L_1\cap L_2} v \Leftrightarrow u \equiv_{L_1} v \land u \equiv_{L_2} v.$ Nhưng ở trên không giữ được. Và theo hiểu biết của tôi không tồn tại bất kỳ mối quan hệ đơn giản. Ví dụ xem xét

L_{1} = (a a)^{*}

$L_1 = (aa)^{\ast}$ và

L_{2} = a (a a)^{+}

$L_2 = a(aa)^+$ , sau đó chúng tôi có

L_{1} \cap L_{2} = \emptyset, L_{1} \cup L_{2} = X^{*} ∖ {a} .

$L_1 \cap L_2 = \emptyset, \qquad L_1 \cup L_2 = X^{\ast} \setminus \{a\}.$ Hiện nay

\equiv_{L_{1}} \cap \equiv_{L_{2}}

$\equiv_{L_1} \cap \equiv_{L_2}$ có ít nhất bốn lớp đồng quy, vì nó tinh chỉnh

\equiv_{L_{2}}

$\equiv_{L_2}$ trong đó có chính xác bốn lớp đồng quy. Nhưng

\emptyset

$\emptyset$ có chính xác một lớp và

X^{*} ∖ {a}

$X^{\ast} \setminus \{a\}$ có ba (tất cả có thể dễ dàng nhìn thấy bằng cách sử dụng automata hoàn chỉnh tối thiểu).

EDIT (2019,08,18). Các hoạt động gương và hậu tố có liên quan đến đồng dư trái

u \equiv^{L} v \Leftrightarrow \forall w \in X^{*} : w u \in L \leftrightarrow w v \in L .

$u \equiv^L v \Leftrightarrow \forall w \in X^* : wu \in L \leftrightarrow wv \in L.$ Nếu

\equiv^{L}

$\equiv^L$ có chỉ số hữu hạn, tương tự như đối với hoạt động tiền tố và đồng đẳng phải,

\equiv^{suffix (L)}

$\equiv^{\operatorname{suffix}(L)}$ có chỉ số hữu hạn. Và

u \equiv_{L} v

$u \equiv_L v$ iff

mirror (u) \equiv^{mirror (L)} mirror (v)

$\operatorname{mirror}(u) \equiv^{\operatorname{mirror}(L)} \operatorname{mirror}(v)$ ; và vì hoạt động của gương là một sự lựa chọn

X^{*}

$X^*$ phương trình cuối cùng cho rằng

\equiv^{mirror (L)}

$\equiv^{\operatorname{mirror}(L)}$ có chỉ số hữu hạn

\equiv_{L}

$\equiv_L$ có chỉ số hữu hạn (lưu ý rằng đồng dư bên trái có cùng chỉ số với đồng dư bên phải cho các từ được nhân đôi, nhưng nói chung là một đồng thừa bên phải cho

mirror (L)

$\operatorname{mirror}(L)$ có thể có nhiều lớp theo cấp số nhân như được thể hiện bởi các tương phản tiêu chuẩn từ lý thuyết automata).

Vì vậy, các hoạt động này được xử lý nếu chúng ta có thể chỉ ra rằng cả hai đồng đẳng có chỉ số hữu hạn cùng một lúc hay không. Đối với điều này cho phép nhìn vào sự phù hợp cú pháp

u \equiv_{S (L)} v \Leftrightarrow \forall x, y \in X^{*} : x u y \in L \Leftrightarrow x v y \in L .

$u \equiv_{S(L)} v \Leftrightarrow \forall x,y \in X^* : xuy \in L \Leftrightarrow xvy \in L.$ Sự đồng dạng này tinh chỉnh cả hai đồng đẳng ở trên, do đó nếu nó là hữu hạn, cả hai đồng dư ở trên cũng là hữu hạn. Nó là

u \equiv_{S (L)} v

$u \equiv_{S(L)} v$ iff cho tất cả

w \in X^{*}

$w \in X^*$ chúng ta có

[w u]_{\equiv_{L}} = [w v]_{\equiv_{L}}

$[wu]_{\equiv_L} = [wv]_{\equiv_L}$ , do đó chúng tôi có một bản đồ được xác định rõ và tiêm từ

\equiv_{S (L)}

$\equiv_{S(L)}$ các lớp tương đương với các phép biến đổi trên

{[w]_{\equiv_{L}} : w \in X^{*}}

$\{ [w]_{\equiv_L} : w \in X^* \}$ và nếu cái sau là tập hữu hạn thì tập hợp các phép biến đổi đó cũng là hữu hạn, hàm ý rằng

\equiv_{S (L)}

$\equiv_{S(L)}$ là chỉ số hữu hạn. Vì vậy, trong tổng số chúng ta có điều đó

\equiv^{L}

$\equiv^L$ có chỉ số hữu hạn nếu

\equiv_{L}

$\equiv_L$ có chỉ số hữu hạn, ngược lại ngụ ý tương tự.

— Stefan
nguồn

4

Các lớp tương đương của mối quan hệ Myhill-Nerode cũng là trạng thái của DFA tối thiểu cho ngôn ngữ. Vì vậy, bất cứ điều gì dễ dàng hiển thị bằng DFA, bạn có thể chuyển đổi thành bằng chứng sử dụng quan điểm Myhill-Nerode. Bất cứ nơi nào bạn cần NFA, bạn có thể mong đợi bằng chứng trở nên phức tạp hơn.

Nhưng câu trả lời đúng là: hãy tự mình thử! Đó là cách nghiên cứu được thực hiện.

— Yuval Filmus
nguồn

Vâng, tôi đã không yêu cầu nghiên cứu ban đầu, cảm ơn. Tôi đã hy vọng rằng ai đó biết liệu kiến thức về

\sim_{K}

$\sim_K$ là chỉ số hữu hạn sẽ dự đoán

\sim_{ϕ (K)}

$\sim_{\phi(K)}$ là chỉ số hữu hạn, ở đâu

ϕ

$\phi$ là một hoạt động ngôn ngữ. Tôi đã cố gắng cho

ϕ

$\phi$ = tiền tố, nhưng tôi không thể thấy cách xử lý ghép được xử lý một cách tao nhã. Vâng, tôi có thể xây dựng một DFA phong nha cho nó.

— Hendrik

Chắc chắn bạn có thể dễ dàng dịch giữa các lớp Nerode và automata tối thiểu, nhưng dù sao tôi cũng đã thêm một bằng chứng sử dụng các lớp đó và theo hiểu biết của tôi không thể chuyển sang bất kỳ cấu trúc tự động nào một cách dễ dàng, vì nó hoạt động với các lớp như một bộ, bằng cách nào đó bị bỏ qua nếu chúng ta sử dụng máy tự động và xây dựng ví dụ máy tự động sản phẩm để lấy các thuộc tính đóng. Do đó tôi sẽ coi nó như là một đối số chỉ các lớp Nerode "thực sự".

— StefanH