Nếu P = NP, tại sao không

Rõ ràng, nếu , tất cả các ngôn ngữ trong ngoại trừ và sẽ là -complete.${\sf P}={\sf NP}$${\sf P}$$\emptyset$$\Sigma^*$${\sf NP}$

Tại sao hai ngôn ngữ nói riêng? Chúng ta không thể giảm bất kỳ ngôn ngữ nào khác trong cho họ bằng cách xuất chúng khi chấp nhận hay không chấp nhận?${\sf P}$

Vì không có chuỗi trong , bất kỳ máy tính nó luôn luôn từ chối, vì vậy chúng tôi không thể ánh xạ Có sơ thẩm của các vấn đề khác để bất cứ điều gì. Tương tự như vậy cho Σ * không có gì để lập bản đồ Không-trường để.$\emptyset$$\Sigma^{\ast}$

Bạn cần giảm đa thức từ vấn đề cho vấn đề B nếu bạn muốn chứng minh rằng B là "khó" hơn Một . Chúng tôi xây dựng một giảm đa thức bằng cách chuyển đổi bất kỳ trường hợp x của A vào một ví dụ f ( x ) của B mà x ∈ A khi và chỉ khi f ( x ) ∈ B .$A$$B$$B$$A$$x$$A$$f(x)$$B$$x∈A$$f(x)∈B$

Hàm phải và có thể là đa thức. Nếu P = N P và A là một vấn đề NP, sau đó f chính nó có thể giải quyết vấn đề Một trong những vấn đề và nhúng bất kỳ x ∈ A vào một số yếu tố y của B và bất kỳ x ∉ A vào một số yếu tố z mà không có trong B .$f$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$A$$f$$A$$x∈A$$y$$B$$x\notin A$$z$$B$

Nếu là một trong hai ∅ hoặc Σ * sau đó y hoặc z không thể tồn tại, nếu không các lý do trên cho thấy rằng B là khó hơn Một .$B$$∅$$Σ^*$$y$$z$$B$$A$

Chỉ cần lưu ý: các câu trả lời trước đều ổn, tuy nhiên bạn không ở quá xa mức giảm tầm thường chính xác:

nếu thì bất kỳ L ∈ N P nào cũng có thể rút gọn thành ngôn ngữ { 1 } (chỉ cần ánh xạ trong thời gian đa thức mỗi x ∈ L đến 1, mọi x ∉ L đến 0), đó là ngôn ngữ thưa thớt$\sf{P} = \sf{NP}$$L \in \sf{NP}$$\{1\}$$x \in L$$x \notin L$

Hướng ngược lại: "nếu một ngôn ngữ hoàn chỉnh có thể rút gọn thành một tập thưa thớt thì P = N P " chắc chắn thú vị hơn và nó được gọi là định lý của Mahaney :$\sf{NP}$$\sf{P}=\sf{NP}$

Đặt là hằng số và A được đặt sao cho với tất cả n , A có tối đa n chuỗi c có độ dài n . Nếu Một là N P -complete sau đó P = N P .$c$$A$$n$$A$$n^c$$n$$A$$\sf{NP}$$\sf{P}=\sf{NP}$