Làm thế nào có thể ws với | w | = | s | và chúng không có ngữ cảnh trong khi w # s thì không?

Tại sao (nếu vậy) seperator $\#$ tạo ra sự khác biệt giữa hai ngôn ngữ?

Hãy nói:

$L=\{ws : |w|=|s|\, w,s\in \{0,1\}^{*}, w \neq s \}$

$L_{\#}=\{w\#s : |w|=|s|\, w,s\in \{0,1\}^{*}, w \neq s \}$

Dưới đây là một bằng chứng và một ngữ pháp đại diện cho $L$ là $CFL$

Và dưới đây Im thêm một bằng chứng cho $L_{\#} \notin CFL$ :

Liệu dấu $\#$ thực sự tạo ra sự khác biệt? Nếu vậy, tại sao vậy? và nếu không, một trong những bằng chứng là sai và ở đâu?

Bằng chứng cho thấy $L_{\#} \notin CFL$ :

Giả sử bằng cách mâu thuẫn mà $L ∈ CFL$ . Đặt $p > 0$ là hằng số bơm cho $L$ được đảm bảo bởi bổ đề bơm cho các ngôn ngữ không ngữ cảnh. Chúng tôi xem xét từ $s = 0^{m}1^{p}\#0^{p}1^{m}$ trong đó $m=p!+p$ để $s ∈ L$ . Kể từ $|s| > p$ , theo bổ đề bơm có tồn tại một đại diện $s = uvxyz$ , sao cho $|vy| > 0$ ,$|vxy| ≤ p$ và$uv^{j}xy^{j} z ∈ L$ với mỗi$j ≥ 0$ .

Chúng tôi nhận được một mâu thuẫn bởi các trường hợp:

• Nếu $v$ hoặc $y$ chứa $\#$ : Sau đó cho $i = 0$ , chúng tôi nhận được rằng $uxz$ không chứa $\#$ , vì vậy $uxz \notin L$ trong mâu thuẫn.

• Nếu cả $v$ và $y$ đều để lại $\#$ : Sau đó, với $i = 0$ , chúng ta nhận được rằng $uxz$ có dạng $w\#x$ , trong đó $|w| < |x|$, Vì vậy $uxz \notin L$ .

• Nếu cả $v$ và $y$ đều đúng $\#$ : Tương tự như trường hợp cuối cùng.

• Nếu $v$ được để lại $\#$ , $y$ đúng với nó và $|v| < |y|$: Sau đó với $i = 0$ , chúng ta nhận được rằng $uxz$ có dạng $w\#x$ , trong đó $|w| > |x|$, Vì vậy $uxz \notin L$ .

• Nếu $v$ được để lại $\#$ , $y$ đúng với nó và $|v| > |y|$: Tương tự như trường hợp cuối cùng.

• Nếu $v$ được để lại $\#$ , $y$ đúng với nó và $|v| = |y|$: Đây là trường hợp thú vị nhất. Kể từ $|vxy| ≤ p$ , $v$ phải được chứa trong phần $1^{p}$ của $s$ và $y$ trong phần $0^{p}$ . Vì vậy, nó cho rằng $v = 1^{k}$ và $y = 0^{k}$ cho cùng $1 ≤ k ≤ p$ (trong thực tế, nó phải là$k < p/2$ ). Với mỗi$j ≥ 0$ , nó giữ rằng $uv^{j+1}xy^{j+1}z = 0^{m}1^{p+j·k}\#0^{p+j·k}1^{m}$ , vì vậy nếu nó xảy ra thì$m = p + j · k$ , sau đó nó giữ rằng$uv^{j+1}xy^{j+1}z \notin L$trong mâu thuẫn. Để đạt được điều này, chúng ta phải lấy$j = (m-p)/k$, chỉ có giá trị khi$m − p$chia hết cho$k$. Hãy nhớ lại rằng chúng tôi đã chọn$m = p + p!$, vì vậy$m − p = p!$và$p!$chia hết cho$1 ≤ k ≤ p$khi muốn.

Bằng chứng của bạn là chính xác, và tôi đã sai. Phải mất một thời gian tôi mới hiểu được sự nhầm lẫn của mình, nhưng với sự giúp đỡ của Yuval, tôi nghĩ rằng tôi đã hiểu được.

Hãy xem xét ba ngôn ngữ

$\qquad\begin{align*} &L_= &\!\!\!\!\!\!\!\!\! &= \{ xy \mid |x| = |y|, x \neq y \}, \\ &L_{\#} &\!\!\!\!\!\!\!\!\! &= \{ x\#y \mid x \neq y \},\ \text{and} \\ &L_{=\#} &\!\!\!\!\!\!\!\!\! &= \{ x\#y \mid |x| = |y|, x \neq y \}. \end{align*}$

Như chúng ta đã thấy ở đây , có ngữ cảnh. Thủ thuật là, trong ngữ pháp, để tạo các ký hiệu "ở bên phải" nhưng đếm chúng "ở bên trái" sau (hoặc ngược lại), đảm bảo các ký hiệu không khớp xuất hiện ở các vị trí khớp. Điều kiện độ dài là không đáng kể vì nó giảm xuống còn chiều dài. Bạn có thể xây dựng NPDA với ý tưởng tương tự, sử dụng ngăn xếp để khớp với vị trí.$L_=$

cũng không có ngữ cảnh. Bằng chứng thậm chí còn đơn giản hơn: các biểu tượng không khớp xuất hiện cùng một khoảng cách so với thời gian bắt đầu. dải phân cách. Độ dài không bằng nhau có thể được kiểm tra riêng; không xác định "chọn" giữa hai tùy chọn.$L_\#$

Bây giờ, như bạn thấy, là không bối cảnh tự do. Đây là lý do tại sao các bằng chứng cho hai ngôn ngữ khác bị phá vỡ.$L_{=\#}$

1. Trong ngữ pháp cho , nếu chúng ta phải tạo một dấu phân cách ở giữa, chúng ta không thể "gán lại" các ký hiệu từ "trái" sang "phải".$L_=$
2. Thay vì "chấp nhận nếu độ dài không bằng nhau hoặc không khớp", chúng ta phải "chấp nhận nếu độ dài bằng và không khớp". Không xác định không thể giúp chúng tôi với và !

Vì vậy, những gì nó hiểu được, theo trực giác, là các điều kiện của dạng " " và " | x | = | y | " đều "không có ngữ cảnh" theo nghĩa là chúng có thể được kiểm tra bằng một ngăn xếp, nhưng không sử dụng kiểm soát hữu hạn. Do đó, một chiếc PDA có thể làm một nhưng không phải cả hai.$x \neq y$$|x| = |y|$

PDA cho "cheat" vì nó không thực sự kiểm tra các điều kiện này cho x và y ; nó tách từ này theo một cách khác. Điều đó không còn có thể nếu bạn có dải phân cách.$L_=$$x$$y$

Phụ Lục: Tôi mạnh dạn tuyên bố rằng vì CFL bị đóng chống lại đồng cấu ngược. Mặc dù đúng là f ( L = # ) = L = với f danh tính ngoại trừ việc xóa # , điều đó không liên quan. f - 1 ( L = ) = L # ; không có gì có thể nói về L = # .$L_= \in \mathrm{CFL} \implies L_{=\#} \in \mathrm{CFL}$$f(L_{=\#}) = L_=$$f$$\#$$f^{-1}(L_=) = L_\#$$L_{=\#}$

Phụ lục II: Lưu ý rằng là không có ngữ cảnh tầm thường. Do đó, với L ∩ L # = L = #, chúng ta có một ví dụ hay cho việc CFL không bị đóng đối với giao lộ.$L = \{ x\#y \mid |x| = |y| \}$$L \cap L_\# = L_{=\#}$