Đếm các đảo trong ma trận Boolean

Cho ma trận Boolean X , hãy để 0 mục đại diện cho biển và 1 mục đại diện cho đất liền. Xác định một hòn đảo theo chiều dọc hoặc chiều ngang (nhưng không theo đường chéo) liền kề 1 mục.$n \times m$$\mathrm X$$0$$1$$1$

Câu hỏi ban đầu là đếm số lượng đảo trong một ma trận nhất định. Tác giả đã mô tả một giải pháp đệ quy ( bộ nhớ $\mathcal{O}(nm)$ ).

Nhưng tôi đã không thành công khi cố gắng tìm một giải pháp phát trực tuyến (từ trái sang phải, rồi xuống hàng tiếp theo) tự động đếm các đảo có bộ nhớ $\mathcal{O}(m)$ hoặc $\mathcal{O}(n)$ hoặc $\mathcal{O}(n+m)$ (không có giới hạn cho sự phức tạp thời gian). Điều đó có thể không? Nếu không, làm thế nào tôi có thể chứng minh nó?

Một vài ví dụ về đầu ra dự kiến ​​cho các đầu vào nhất định cho counthàm:

$count\begin{pmatrix} 010\\ 111\\ 010\\ \end{pmatrix} = 1; % count\begin{pmatrix} 101\\ 010\\ 101\\ \end{pmatrix} = 5; % count\begin{pmatrix} 111\\ 101\\ 111\\ \end{pmatrix} = 1;$

$count\begin{pmatrix} 1111100\\ 1000101\\ 1010001\\ 1011111\\ \end{pmatrix} = 2$

$count\begin{pmatrix} 101\\ 111\\ \end{pmatrix} = 1$

Đây là bản phác thảo thuật toán chỉ giữ hai hàng trong bộ nhớ tại một thời điểm, vì vậy bộ nhớ . Nhưng vì bạn có thể chạy thuật toán này trên chuyển vị của ma trận mà không gặp vấn đề gì, nên độ phức tạp thực tế là bộ nhớ O ( min ( m , n ) ) . Thời gian xử lý là $O(m)$$O(\min(m, n))$ .$O(mn)$

1. Khởi tạo. Quét qua hàng đầu tiên và tìm tất cả các chuỗi con được kết nối của hàng đó. Chỉ định mỗi chuỗi con tách rời một id dương duy nhất và lưu nó dưới dạng một vectơ bằng 0 trong đó bằng 0 và id dương duy nhất khác.$X$

2. Đối với mỗi hàng còn lại gán các id duy nhất (không bao giờ gán lại các id duy nhất trước đó, hãy đảm bảo rằng id của bạn đang tăng nghiêm ngặt) cho các chuỗi con trong hàng đó một lần nữa. Xem hàng trước cộng với hàng hiện tại dưới dạng ma trận x m và bất kỳ khu vực được kết nối nào cũng phải được chỉ định ở mức tối thiểu. Ví dụ:$2$$m$

   $$\begin{array}0010402220333300\\ 506607080009990\end{array} \rightarrow \begin{array}0010402220333300\\ 504402020003330\end{array}$$

   Không cần cập nhật hàng trước cho tính chính xác của thuật toán này, chỉ có hiện tại.

   Sau khi xong, tìm tập hợp tất cả các id ở hàng trước không kết nối với hàng tiếp theo, loại bỏ các bản sao . Thêm kích thước của bộ này vào bộ đếm đảo đang chạy của bạn.

   Bây giờ bạn có thể loại bỏ hàng trước và gán hàng hiện tại cho hàng trước và tiếp tục.

3. $X$

$O(n)$$O(n\log n)$$n=m$$\Omega(n)$

$x_1,\ldots,x_n$$y_1,\ldots,y_n$$i$$x_i=y_i=1$$2\times(2n-1)$$x_1,0,x_2,0,\ldots,0,x_n$ . Sau hàng đầu tiên được đọc, Alice gửi Bob Σ i $y_1,0,y_2,0,\ldots,0,y_n$$\sum_i x_i$$\sum_i (x_i+y_i)$$i$$\Omega(n)$$\Omega(n)$ thấp hơn bị ràng buộc, nắm giữ ngay cả đối với các giao thức ngẫu nhiên được phép err với một số khả năng liên tục nhỏ.

$O(n)$$O(\log n)$$O(n)$