Phân tích tiệm cận cho hai biến?

Phân tích tiệm cận (big o, little o, big theta, big theta, v.v.) được định nghĩa như thế nào đối với các hàm có nhiều biến?

Tôi biết rằng bài viết Wikipedia có một phần về nó, nhưng nó sử dụng rất nhiều ký hiệu toán học mà tôi không quen thuộc với nó. Tôi cũng tìm thấy bài báo sau: http://people.cis.ksu.edu/~rhowell/asymptotic.pdf Tuy nhiên, bài viết rất dài và cung cấp một phân tích đầy đủ về phân tích tiệm cận thay vì chỉ đưa ra một định nghĩa. Một lần nữa việc sử dụng thường xuyên các ký hiệu toán học làm cho nó rất khó hiểu.

Ai đó có thể cung cấp một định nghĩa về phân tích tiệm cận mà không có ký hiệu toán học phức tạp?

Ký hiệu tiệm cận cho các hàm đa biến được định nghĩa tương tự với đối tác biến đơn của nó. Trong trường hợp biến đơn, chúng ta nói rằng khi và chỉ khi tồn tại hằng số sao cho với tất cả ta có . Nói cách khác, được giới hạn trên bởi một số bội của cho tất cả lớn hơn một số cố định .$f(n) \in O(g(n))$$C,N$$n > N$$f(n) \leq Cg(n)$$f(n)$$g(n)$$n$$N$

Trong trường hợp đa biến, định nghĩa gần giống nhau, ngoại trừ bạn có thêm một vài biến để lo lắng. Giả sử là hàm của hai biến. Chúng tôi muốn ràng buộc từ trên bằng một hàm khác của hai biến. Vì vậy, chúng ta nói rằng nếu và chỉ khi tồn tại hằng số sao cho tất cả và ta có . Định nghĩa gần như giống hệt nhau, ngoại trừ bây giờ tất cả các biến của chúng ta phải lớn hơn hằng số cố định của chúng ta .$f(n,m)$$f$$f(n,m) \in O(g(n,m))$$C,N$$n>N$$m>N$$f(n,m) \leq Cg(n,m)$$N$

Bài viết trên wikipedia đã sử dụng có nghĩa là một vectơ trong có nghĩa là và là các hàm đa biến của các biến (ví dụ ). Nói rằng cho tất cả có nghĩa là mỗi thành phần của phải được lớn hơn .$\overrightarrow{x}$$\mathbb{R}^d$$f$$g$$d$$f,g:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}$$x_i > N$$i$$\overrightarrow{x}$$N$