Tìm st là -hard cho bất kỳ

9

Đặt là ngôn ngữ của tất cả các công thức -CNF , sao cho ít nhất các mệnh đề của có thể được thỏa mãn. $L_\epsilon$ $2$ $\varphi$ $(\frac{1}{2}+\epsilon)$ $\varphi$

Tôi cần chứng minh rằng có tồn tại st là -hard cho bất kỳ . $\epsilon'$ $L_\epsilon$ $\mathsf{NP}$ $\epsilon<\epsilon'$

Chúng tôi biết rằng có thể gần đúng với các mệnh đề từ việc giảm . Làm thế nào tôi nên giải quyết cái này? $\text{Max}2\text{Sat}$ $\frac{55}{56}$ $\text{Max}3\text{Sat}$

complexity-theory satisfiability approximation

— Joni
nguồn

8

Trong bài báo nổi tiếng của mình, Håstad cho thấy rằng NP-hard gần đúng với MAX2SAT hơn . Điều này có thể có nghĩa là NP-khó phân biệt các trường hợp thỏa đáng và các trường hợp thỏa đáng, đối với một số . Bây giờ hãy tưởng tượng đệm một ví dụ để nó trở thành một -fraction của một trường hợp mới, phần còn lại trong số đó là chính xác -satisfiable (nói nó bao gồm nhóm các điều khoản có dạng ). Các số giờ trở thành và $21/22$ $\leq \alpha$ $\geq (22/21) \alpha$ $\alpha \geq 1/2$ $p$ $1/2$ $a \land \lnot a$ $1/2 + p (\alpha - 1/2)$ $1/2 + p((22/21)\alpha - 1/2)$ . Số sau có thể được thực hiện gần bằng như chúng ta muốn. $1/2$

— Yuval Filmus
nguồn

Phương thức của bạn có hoạt động khi là một số thực tùy ý (nhưng đủ nhỏ) không? Tôi không thể tìm ra cách chọn số mệnh đề thích hợp để sử dụng cho phần đệm trừ khi tôi giả sử điều gì đó về. (Lưu ý rằng không phải là một phần của đầu vào, và do đó, nó được xác định rõ để xem xét số thực.)

— Tsuyoshi Ito

Đó là nơi khoảng cách giữa và có thể hữu ích. Giả sử là hợp lý, lấy một số hợp lý và bạn sẽ làm tốt.

1 / 2 + p (α - 1 / 2)

$1/2+p(\alpha-1/2)$

1 / 2 + p ((22 / 21) α - 1 / 2)

$1/2+p((22/21)\alpha-1/2)$

α

$\alpha$

p

$p$

— Yuval Filmus

Aha, bằng cách nào đó tôi đã nghĩ rằng phương pháp đó không hoạt động khi tôi thử nó lần đầu tiên, nhưng bây giờ tôi thấy nó hoạt động như thế nào. Cảm ơn!

— Tsuyoshi Ito

5

Nếu bạn biết rằng ε là một số hữu tỷ, thì bạn không cần tính gần đúng cho Max-2-SAT để chứng minh tuyên bố của mình. Một bằng chứng điển hình về độ cứng NP của Max-2-SAT (ví dụ, một trong sách giáo khoa Độ phức tạp tính toán của Papadimitriou) thực sự chứng minh tính hoàn chỉnh NP của L _1/5 . Để chứng minh NP-khó của L _ε cho dương tính số hữu tỉ ε <1/5, chúng tôi có thể giảm L _1/5 đến L _ε như sau: cho một công thức 2CNF φ (một thể hiện cho L _1/5 ), chúng ta hãy m được số mệnh đề trong đó. Để r vàs là nguyên dương sao cho (1/5 ε ) mr = 2 ε s nắm giữ. Sau đó xây dựng một công thức 2CNF (một thể hiện cho L _ε ) bằng cách lặp lại φ cho r lần và thêm s cặp khoản mâu thuẫn. Một chương trình tính toán đơn giản rằng đây thực sự là một giảm từ L _1/5 đến L _ε .

Mức giảm này rõ ràng chỉ khi làm việc ε là hợp lý, bởi vì nếu không r và s không thể được thực hiện như là số nguyên. Trường hợp tổng quát nơi ε không nhất thiết phải hợp lý dường như đòi hỏi inapproximability, như Yuval Filmus đã viết trong câu trả lời của mình.

— Tsuyoshi Ito
nguồn