Tâm trí có thể là một automata hữu hạn và vẫn phát minh ra máy Turing không?

Máy Turing được phát minh bởi một bộ óc con người. Có lẽ, không có gì mạnh hơn máy Turing có thể phát minh ra máy Turing.

Tuy nhiên, một máy Turing có băng vô hạn, trong khi tâm trí nằm trong một vũ trụ hữu hạn, và do đó chỉ có thể là một TM với băng hữu hạn. Một TM với băng hữu hạn có thể được mô phỏng bởi một máy tự động hữu hạn, nó hoàn toàn không mạnh bằng Turing Machine. Điều này dường như ngụ ý rằng một máy Turing được phát minh bởi một máy tự động kém mạnh hơn máy Turing, mâu thuẫn với tiền đề ban đầu.

Đây co phải vân đê? Hoặc, là tiền đề ban đầu sai? Có thể cho một automata hữu hạn bằng cách nào đó "phát minh" ra một cỗ máy mạnh hơn, một kiểu bootstrapping, nếu bạn muốn?

Mặc dù rất khó để định nghĩa chính thức "phát minh", nhưng có vẻ như một automata hữu hạn thậm chí có thể đại diện cho các TM hữu hạn một cách hiệu quả. Ví dụ, trên trang wikipedia, nó tuyên bố một DFA sẽ yêu cầu bốn triệu trạng thái để thể hiện một TM với vài trăm trạng thái. Vì vậy, để thậm chí chỉ đại diện cho tập hợp con hữu ích của việc tạm dừng TM, ấn tượng của tôi là một đại diện DFA có thể sẽ vượt quá bất kỳ khả năng tính toán nào chúng ta có. Dường như có một sự mất kết nối lớn giữa các DFA và TM, do đó thật khó để tưởng tượng một bootstrapping hợp lý để đi từ cái này sang cái khác.

Ngoài ra còn có vấn đề liên quan về việc làm thế nào một automata hữu hạn có thể chứng minh vấn đề tạm dừng cho các TM.

Bạn thực sự có một vấn đề tiền đề. Chúng tôi không phải là FSM hoặc TM. Đừng quên rằng tất cả các thiết bị lý thuyết tính toán này là những tóm tắt toán học đơn giản bao gồm một loạt các tiên đề và đầu vào hạn chế. Các hệ thống lý thuyết tính toán (Godel's, Turing's và Church) chỉ được thiết kế để cho phép chúng tôi đưa ra bằng chứng về việc liệu một số loại chức năng có thể tính toán được hay không.

Ngược lại, chúng tôi:

1. lọc qua thông tin vô tận theo nghĩa đen
2. sở hữu ý thức (bất cứ điều gì có nghĩa)
3. tồn tại trong thế giới vật chất

Một bằng chứng đơn giản cho thấy chúng tôi không phải là TM là những gì bạn vừa nêu: chúng tôi có thể phát minh ra Turing Machines, nhưng Turing Machines không thể lần lượt phát minh ra chúng tôi. Chúng ta hoàn toàn không quan trọng khi thấy điểm cuối của vô số cấu hình TM trước khi chúng chạy (mặc dù cũng tồn tại các TM vô hạn mà chúng ta không thể nhìn thấy điểm cuối), nhưng không TM nào có thể xác định điểm cuối của con người một cách tầm thường cuộc sống.

Có một câu nói từ bản đồ học có thể rất hữu ích ở đây: Bản đồ không phải là lãnh thổ

Các hệ tiên đề này được thiết kế rất thông minh để có được một số ý tưởng nhỏ (mặc dù quan trọng), nhưng cố gắng giảm con người thành 7 tuple và một loạt tiên đề ngắn có ý nghĩa nhiều như giảm con người sang bất kỳ trừu tượng nào khác hệ tiên đề. Mặc dù các hệ thống này hữu ích để xem các khía cạnh của thế giới thực, nhưng chúng không phải là hình ảnh hoàn chỉnh và chúng tôi không phải là Máy trạng thái hữu hạn hoặc Máy Turing bất kỳ hơn chúng ta là Lý thuyết số hoặc Lý thuyết tập hợp.

Một số chi tiết máy Turing

• Máy Turing không có băng vô hạn, nó có băng không giới hạn . Không có giới hạn về số lượng biểu tượng có thể được lưu trữ trên đó, nhưng tại bất kỳ thời điểm nào, chỉ có một số lượng biểu tượng hữu hạn được ghi trên băng. Vì vậy, trong khi chúng ta không thể hình dung được tất cả các hoạt động của máy, chúng ta luôn có thể hình dung ít nhất một số trạng thái của máy.
• Theo một nghĩa nào đó, Turing Machines khắc phần "hữu hạn" của tất cả các ngôn ngữ, theo nghĩa là nó khắc ra phần có thể được biểu diễn chính xác (bằng Máy Turing). Có vô số ngôn ngữ, nhưng vô số máy Turing, vì vậy có rất nhiều thứ chúng ta sẽ không bao giờ hiểu được vì nó thực sự là vô hạn, trong vô cùng lớn.
• Hầu hết các vấn đề mà chúng ta có thể nghĩ là không thực sự đòi hỏi sức mạnh của Máy Turing. Nhiều người có thể được viết bằng cách sử dụng đệ quy nguyên thủy hoặc các sơ đồ đệ quy có căn cứ khác. Vì vậy, hầu hết các thuật toán không thực sự đòi hỏi sự vô hạn của Turing Machines.
• Đối với Máy Turing tạm dừng, luôn có một chức năng mô tả lượng bộ nhớ tối đa được sử dụng liên quan đến kích thước đầu vào. Vì vậy, chúng ta không cần phải hiểu vô cùng, chúng ta chỉ cần hiểu mối quan hệ.

Một hệ thống yếu có thể phát minh ra một hệ thống mạnh hơn?

Câu trả lời ở đây, tôi nghĩ là có, tùy thuộc vào định nghĩa của bạn. Ví dụ, ngôn ngữ của tất cả các máy Turing hợp lệ có thể được mô tả bằng cách sử dụng ngữ pháp không ngữ cảnh, chính thức hóa yếu hơn về mặt tính toán. Bạn thậm chí có thể mô tả một ngôn ngữ thông thường mô tả máy Turing hợp lệ trông như thế nào và chúng là hữu hạn. (Cảnh báo spoiler, điều này không nói nhiều, vì bạn có thể ánh xạ từng số nguyên vào Máy Turing, vì vậy ngôn ngữ thông thường$\{0,1\}^*$ có thể là tập hợp của tất cả các máy Turing hợp lệ).

Và, điều quan trọng là phải phân biệt việc nhận ra một vật, hoặc phát minh ra một mô tả về một thứ gì đó, và phát minh ra tất cả mọi thứ. Chúng ta có thể nhận ra máy Turing là gì, nhưng chúng ta không thể nhìn thấy tất cả chúng, và vì những vấn đề như sự cố Dừng lại, chúng ta thậm chí không thể hiểu tất cả chúng.

Những thứ vô hạn khác

Câu hỏi này cuối cùng không khác gì hỏi làm thế nào một trí óc hữu hạn có thể hiểu được các số tự nhiên hay hàm số $y=x$ trong $\mathbb{R}^2$. Cả hai đều là vô hạn, nhưng có thể được mô tả theo những cách hữu hạn.

Nhưng, có các hàm và tập hợp và số thực và số đó thực sự là vô hạn, không bao giờ có thể được mô tả bằng bất kỳ công thức nói hoặc viết có thể nào (bởi vì có vô số thực, nhưng có nhiều câu hữu hạn trong bất kỳ ngôn ngữ nào của con người.) Và ở đó là những định lý đúng hơn là có bằng chứng, a la Godel.

Vì vậy, chúng ta có thể mô tả vô hạn, và nói về các thuộc tính của nó, có lẽ mà không thực sự hiểu nó, ít nhất là không hiểu mọi khía cạnh của nó.